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p進整数となる分数のp進展開

数学

p進整数となる分数をどうp進展開するか

最近p進数について何度か記事を書いていく中で、ふと疑問に思ったことがある。例として p=5の場合を考える。このとき、 \frac{10}{3}は5進整数である。なぜなら、5進付値が以下のように0以上になるからである。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
\mathrm{ord}\left(\frac{10}{3} \right) &=& \mathrm{ord}\left(5 \cdot \frac{2}{3} \right) \\
                                       &=& 1 \ge 0
\end{eqnarray}
}

では、この数を5進展開すると、どのように表されるだろうか?p進整数のp進展開とは、p進整数を以下のように表すことであった。

 \displaystyle{
\sum_{n=0}^{\infty} a_n p^{n}\ (a_i \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ i = 0, 1, 2, \cdots)
} *1

一見すると、 a_0 = 0,\ a_1 = \frac{2}{3}とすれば良さそうであるが、残念ながら \frac{2}{3}は整数ではない。しかし、5進整数である以上、一意な5進展開が存在するはずである。一体どのようにすれば5進展開できるのであろうか?

無限級数を利用した解決法

上記の疑問について、なかなかよさ気な解決策を思いついたので、それについて書いてみる。なお、概ね私が自分で考えたことなので、合っている保証はないという点はご注意頂きたい。

まず、問題を少し一般化してみよう。すなわち、任意の0でない有理数のうち、p進整数となるものは q = p^k \frac{a}{b}( p素数 kは0以上の整数、 a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \frac{a}{b}は既約分数であり、 a, bはどちらも pで割りきれない)と書ける。このとき、 qがどのようにp進展開されるかを考えてみよう。

 p, bが互いに素であることから、 pl + bm =1を満たす整数 l, mが存在する。この時、以下の級数を考える。

 \displaystyle{
\sum_{i=0}^{n} (pl)^{i} = \frac{(pl)^{n+1}-1}{pl - 1}
}

これは実数としては正または負の無限大に発散するのであるが、p進数としてはどのような数に収束するかを考えてみる。 r = \frac{-1}{pl-1}と置くと、上記級数とrのp進距離は以下のように計算できる。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
\left| \frac{(pl)^{n+1}-1}{pl - 1} -r \right|_p &=& \left| \frac{(pl)^{n+1}}{pl - 1} \right|_p \\
                                                &=& \left| p^{n+1} \cdot \frac{l^{n+1}}{pl - 1} \right|_p \\
                                                &\le& \frac{1}{p^{n+1}}
\end{eqnarray}
}

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^{n+1}} = 0より、この級数 rにp進収束することが分かる。よって、p進数の世界では以下が成立する。

 \displaystyle{
\sum_{i=0}^{\infty} (pl)^{i} = \frac{-1}{pl-1}
}

ここで、 pl + bm =1を変形して pl -1 = -bmとなるので、これを代入すると以下のようになる。

 \displaystyle{
\sum_{i=0}^{\infty} (pl)^{i} = \frac{1}{bm}
}

これの両辺に p^k amをかけて左辺と右辺を入れ替えると、以下の式が得られる。

 \displaystyle{
p^k \frac{a}{b} = p^k am \sum_{i=0}^{\infty} (pl)^{i}
}

左辺はまさにp進展開が知りたかった有理数 qそのものである。もう少し整理してみる。

 \displaystyle{
q = \sum_{i=0}^{\infty} (aml^{i}) p^{i+k}
}

ここで、lとmのどちらか片方は定義より明らかに負になる。もし l<0だとすると、 l^iの項がiの偶奇によって正になったり負になったりしてしまい、p進展開の定義と合わなくなってしまう。そのため、 l>0だと都合がよい。もし偶然 l>0となっていればそれでよい。もし l<0の場合は、 pl + bm =1の両辺を2乗したものを考える。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
(pl + bm)^2 &=& 1^2 \\
(pl)^2 + 2plbm + (bm)^2 &=& 1 \\
p(pl^2) + b(2plm + bm^2) &=& 1
\end{eqnarray}
}

ここで、 l' = pl^2,\ m' = 2plm + bm^2と置くと、 pl' + bm' = 1となっている。また、 l' >0である。よって l', m'を改めて l, mと置き直せば、 l>0とできるのである。

これでほぼp進展開が得られた。あとは \left|aml^{i}\right| \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}となっていればよい。偶然そうなっていればそれでよいし、もし p \le \left|aml^{i}\right| であれば、適宜桁を繰り上げてやれば、p進展開が得られる。が、そこまで考慮して綺麗に定式化する方法が分からないので、あとは具体的な有理数に対して上記の手続きを適用するときに考えることにしよう。

具体例

冒頭で取り上げた \frac{10}{3}を上記の方法で5進展開してみよう。これは 5\cdot \frac{2}{3}となるので、 k=1, a=2, b=3である。また、 5l + 3m = 1を満たす l, mで、 l >0となるものを探してみると、 (l, m) = (2, -3)が該当することが分かる。これより、以下のような無限級数が得られる。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
\frac{10}{3} &=& \sum_{i=0}^{\infty} (2\cdot (-3) \cdot 2^{i}) 5^{i+1} \\
             &=& \sum_{i=0}^{\infty} (-3 \cdot 2^{i+1}) 5^{i+1} \\
             &=& -(6 \cdot 5 + 12 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5^3 + 48 \cdot 5^4 + 96 \cdot 5^5 + \cdots)
\end{eqnarray}
}

さて、各iについて 5^iの係数の絶対値が5以上になってしまっているので、これを順次繰り上げていく必要がある。例えば、 6 = 1 + 5とすると、この級数は以下のようになる。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -(1 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5^3 + 48 \cdot 5^4 + 96 \cdot 5^5 + \cdots)
}

次に、 13 = 3 + 2 \cdot 5とすれば、以下のように変形できる。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -(1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 26 \cdot 5^3 + 48 \cdot 5^4 + 96 \cdot 5^5 + \cdots)
}

さらに、 26 = 1 + 5^2とすれば、以下のように変形できる。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -(1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + 48 \cdot 5^4 + 97 \cdot 5^5 + \cdots)
}

同じように、 48 = 3 + 4 \cdot 5 + 5^2とすれば、以下のように変形できる。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -(1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + 101 \cdot 5^5 + \cdots)
}

これで最後にしよう。 101 = 1 + 4 \cdot 5^2とすれば、以下のように変形できる。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -(1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + 1 \cdot 5^5 + \cdots)
}

結局、 \frac{10}{3}をp進展開すると、以下のようになることが分かった。

 \displaystyle{
\frac{10}{3} = -\cdots 131310
}

これを見ると、各桁に1と3が交互に並ぶのではないかと予想できる。これが正しいかどうか計算してみよう。もし1と3が交互に現れるのだとすると、そのような数は1が現れる桁と3が現れる桁をそれぞれ足し合わせることで、以下のように計算できる。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
 -\left(\sum_{i=0}^{\infty} 5\cdot 25^{i} + \sum_{i=0}^{\infty} 75 \cdot 25^{i} \right) &=& -\left(\frac{-5}{25-1} + \frac{-75}{25-1} \right) \\
             &=& \frac{80}{24} \\
             &=& \frac{10}{3}
\end{eqnarray}
}

最初の等号はp進数としての収束を表していることに注意して欲しい。以上により、1と3が交互に並ぶという仮説は正しいことが分かった。恐らくだが、通常の有理数と同じように、p進数においても有理数は無限に桁が続いたとしても、それが循環するようになっているのかもしれない。

ちなみに、このようにして得られたp進展開からp進付値は1であることが容易に分かるが、これは冒頭で述べた事実と一致している。

まとめ

以上、p進整数となるような有理数のp進展開について述べた。このように具体的な計算例については、数学書では特に説明されないため、実際に計算することで得られた知見は大変有意義であった。

今回は突然疑問に思ったことを記事にしたくなったため、元々の予定とずれてしまったが、まあそんな日があっても良いだろう。

追記

本文中では、結論として \frac{10}{3} = -\cdots 131310というように、マイナスが付いた形でのp進展開を行った。これの両辺に3をかけると、 10 = -\cdots 444430となるわけだが、どうにも両者が一致しているような気がしない。また、10の5進展開は 2 \cdot 5のはずであるから、5進展開が2通り存在することになってしまっているようにも見える。p進展開はただ一通りになされるはずであるから、これは何かがおかしい。

この原因は、おそらく5進展開の先頭についたマイナスにある。調べたところ、どうやらp進展開というのはすべて正の数として表現できそうだということがわかった。そこで、この追記では負の数のp進展開について考え、 \frac{10}{3}の正の数としての5進展開を示す。

まず、簡単なところからはじめよう。 p=5としたとき、3と-3を5で割った余りはそれぞれいくつになるだろうか?3の方は当然余り3であるが、-3の方は余り2になる。なぜなら、 -3 = 5 \cdot (-1) + 2のように表せるからである。このように、負の数の剰余を考えると、それは正の数として表現できる。また、自然数 nに対して、 n -nの剰余というのは、一般的には異なる値になる。

ここで、-3の剰余を求めた式を少し変更すると、 5-3 = 2とも書ける。これは、ある数(ここでは-3)に5の倍数をいくら足しても、5で割った余りは変わらないという事実を表していると考えることができる。すなわち、 -3 \equiv 2 (\mod 5)なのである。

さて、-3を5で割った余りが2だったので、-3と2は5進数として等しいのだろうか?答えは否である。なぜなら、これらは25で割った余りが異なるからだ。2を25で割った余りは2、-3を25で割った余りは22になる。これは、 -3 = 25 \cdot (-1) + 22となるからである。ここで、22は5で割った余りが2であり、かつ25で割った余りが22であるため、5進数としては2と比べてより-3に近い数であると言える。また、先ほどと同様の変形をすると 25 - 3 = 22が得られる。ある数に25の倍数を足しても、25で割った余りは変わらないため、 -3 \equiv 22 (\mod 25)となるのである。

このようなことを繰り返すと、 -3 \equiv 5^m -3 (\mod 5^m)となることがわかる。これが無限に大きいmについて成立すれば、両者は5進数として等しくなるはずである。 5^mは5進展開すると 10\cdots 00(0がm個)と表せるのだから、 \cdots 0000 (無限の彼方に1が立っている)という数を-3に足して得られる正の数は、5進数として-3に等しいと言える。これを具体的に計算すると、以下のようになる。

 \displaystyle{
\cdots 000000 - 3 = \cdots 444442
}

この式の右辺こそが、まさに-3の5進展開となるのである。

では、ここでついに \frac{10}{3}= -\cdots 131310の正の数としての5進展開を考える。要するに、無限の彼方に1が立ったような5進数を足してやればよいのである。

 \displaystyle{
(\cdots 000000) - (\cdots 131310) = \cdots 313140
}

この式に3をかけて、10になるかどうか見てみよう。

 \displaystyle{
\cdots 1313140 \times 3 = \cdots 000020
}

おや、先頭の無限に続く0はさておき、値が20になったぞ?というのは当然で、これは5進数表記だからである。5進数表記での20は10進数に直すと10になるので、これは確かに \frac{10}{3}の5進展開を表していたと言える。

結局、本文で示したような負のp進展開を考えてしまうと、p進展開が一意でなくなってしまうので、ここで示したように正の数に直してやらないといけないのだろうと思われる。

もっとも、私が考える程度のことはすでに考えた人がいるようで、分数のp進展開を最初から正の数として求める方法が存在するようである。それについては下記のサイトを参照されたい。

d.hatena.ne.jp

*1:以前の記事と添字の付け方を若干変えているが、同じことである。

p進整数の可視化による逆極限とp進展開の橋渡し

数学

本稿でも引き続きp進整数 \mathbb{Z}_pについて述べる。前回の記事で逆極限によるp進整数の定義を述べた。本稿ではまずこれを視覚的に捉え、次いでp進展開との関係について述べる。

p進整数の定義おさらい

まず、逆極限によるp進整数の定義を再掲しよう。剰余環 \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}\ (n=1, 2, 3, \cdots)と自然な全射 f_n : \mathbb{Z}/p^{n+1} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}から成る以下のような系列が与えられたとする。

 \displaystyle{
\cdots \xrightarrow{f_4} \mathbb{Z}/p^4 \mathbb{Z} \xrightarrow{f_3} \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z} \xrightarrow{f_2} \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \xrightarrow{f_1} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}
}

このとき、積集合 \prod_{1 \le n} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}の以下のような部分集合を逆極限と呼ぶ。

 \displaystyle{
\lim_{\substack{\longleftarrow\\n}} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} = \left\{(a_n)_{1\le n} \in \prod_{1 \le n} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} ;\ \forall n \in \mathbb{N},\ f_n(a_{n+1}) = a_n \right\}
}

p進整数の可視化

p進整数について、 p=5を例に考えてみよう。ある5進数rについて、 a_1 \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}だから、 a_1は0, 1, 2, 3, 4の何れかである。ここでは仮に a_1 = 0だったとしよう。 f_1の定義より、 f_1(a_2) = a_1 = 0となるが、 f_1は自然な全射であるから、これは a_2を5で割った余りが a_1 = 0に等しいことを意味する。また、 f_2の定義より、 f_1 \circ f_2(a_3) = f_1(a_2) = 0となるが、 f_2も自然な全射なので、やはり a_3を5で割った余りが a_1 = 0になることを意味する。これを繰り返すと、全ての a_n\ (1 < n)を5で割った余りは a_1=0に等しくなる。

次に、 a_2について考えてみる。 a_2 \in \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}であり、かつ上の議論により a_2を5で割った余りは0だから、 a_2は0, 5, 10, 15, 20の何れかである。ここでは仮に a_2 = 5だったとしよう。 f_2の定義より、 f_2(a_3) = a_2 = 5となるが、 f_2は自然な全射であるから、これは a_3を25で割った余りが a_2 = 5に等しいことを意味する。また、 f_3の定義より、 f_2 \circ f_3(a_4) = f_2(a_3) = 5となるが、 f_3も自然な全射なので、やはり a_4を25で割った余りが a_2 = 5になることを意味する。これを繰り返すと、全ての a_n\ (2 < n)を25で割った余りは a_2=5に等しくなる。

ダメ押しで a_3についても考えてみよう。 a_3 \in \mathbb{Z}/125\mathbb{Z}であり、かつ上の議論により a_3を5で割った余りは0、25で割った余りは5だから、 a_3は5, 30, 55, 80, 105の何れかである。ここでは仮に a_3 = 80だったとしよう。すると、これまでの議論と同様に、全ての a_n\ (3 < n)を125で割った余りは a_3=80に等しくなる。

これを一般化すると、ある m \in \mathbb{N}について、全ての a_n\ (m < n) 5^mで割った余りは a_mに等しくなるということが言える。

これまで述べてきたことを可視化してみると、ある5進数rは以下のように表すことができるだろう。

f:id:peng225:20170304144228p:plain

ただし、図の描きやすさの都合上、選択されたオレンジ色の数字を大き目に描いている。この図を見ると、rがまさに何処かに収束していく様子が見て取れるだろう。この収束の様子こそが、まさに逆極限が表していることであり、p進数rそのものなのである。

逆極限から分かるp進整数のp進展開

さて、図をさらによく見ると、あるオレンジ色の箱の中身は、次のステップでは必ず5個の小さな箱に分割されていることが分かる。そこで、オレンジ色に塗られた箱は、それぞれ前のステップでの箱の中で何番目に位置するものであるかを考えてみる。

まず、 a_1 = 0について、これは(0始まりでカウントすると)0番目の箱である。 a_2 = 5は、 a_1 = 0という箱に属するものの中で1番目の箱であることが分かる。さらに、 a_3 = 80は、 a_2 = 5という箱の中で3番目に位置していることが見て取れる。

このように、各 a_nが前のステップでのオレンジの箱の中で何番目に位置しているかというのを順に調べていくと、各 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}における箱の番号をn桁目の数字とすることで、rを以下のように一意に表すことができる。

 \displaystyle{
r = \cdots 12310
}

これをrのp進展開と呼ぶ。一般に、p進展開は以下のように表すことができる。

 \displaystyle{
r = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{n-1}
}

一般のp進整数のp進展開では桁数は無限に大きくなり得るわけだが、中にはある m \in \mathbb{N}について \forall n \ge m, a_n = 0となるような数も存在する。そのようなものは実は通常の整数となっている。また、その場合、ここで示したp進展開は、10進整数を通常の意味でp進数表示した場合と全く同じものになる。このことからも、 \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}_pであることが理解できる。

まとめ

以上、p進整数 \mathbb{Z}_pの具体例について可視化を行うことで、それがどのようにp進展開と結びついていくのかを見た。本稿の説明だけでは \mathbb{Q}_pのp進展開までは説明できていないが、逆極限との関連を視覚的に捉えることを優先し、敢えて省いた。 \mathbb{Q}_pについても分からないことが山ほどあるので、それらについても近いうちに勉強し、明らかになったところで記事にしたいと思う。

参考

数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス)

数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス)

整数環とp進整数環の関係

数学

p進数とは

今日は再び数論について書いてみる。トポロジーの勉強を始める前は数論の本(数論Ⅰ)を読んでいたのだが、これがどうにも消化しきれず、一旦停止していた。本稿では一読して理解しきれなかったトピックの1つであるp進整数について書いてみる。

数論の世界にはp進数と呼ばれる概念がある。私はこの言葉を初めて聞いたとき、てっきり10進数とか2進数とか16進数とか、そういう類の話だと思っていた。しかし、残念ながらこれはちょっと違う。

数論を学んだことがない人にとって、最も基本的な数の構造と言えば実数体 \mathbb{R}であろう。我々は小学生の頃から「数といえば基本は実数」という感覚を暗黙のうちに植え付けられて育ってきた。有理数 \mathbb{Q}とか整数環 \mathbb{Z}とか複素数体 \mathbb{C}などももちろん重要であるが、やはり数の基本は実数という感覚がどこかにあるのではないだろうか。そんな常識を打ち破るのがp進数なのである。

そのことを見るために、まずは実数について再考してみよう。実数というのは、 \mathbb{Q}を1次元の距離空間だとみなした時に、これを完備化したものだと言うことができる。完備化とは、距離空間が完備になるようにその範囲を広げることを言う。完備距離空間とは、その距離空間内における任意のコーシー列が、その距離空間内に極限を持つようなもののことを言う。

例えば、 \mathbb{Q}は完備距離空間ではない。なぜなら、 \mathbb{Q}は稠密なので \sqrt{2}にいくらでも近い点を取ることができるが、 \sqrt{2}に限りなく近づいていくコーシー列の極限値 \sqrt{2}であり、これは \mathbb{Q}の元ではないからである。このように、点列の向かう先がその距離空間の範囲をはみ出るようなものは完備でない。

そこで、任意のコーシー列の極限が全てその距離空間内に収まるように \mathbb{Q}を拡張することを考える。そのようにして作られた \mathbb{Q}の拡大体が \mathbb{R}の正体である。

ここまでの説明では、コーシー列がある極限に収束すると言った場合、暗黙のうちに通常のユークリッド距離を仮定していた。言い換えれば、 \mathbb{Q}ユークリッド距離について完備化したものが \mathbb{R}なのである。

では、 \mathbb{Q}ユークリッド距離以外の距離によって完備化したらどうなるだろうか?実はそこには \mathbb{R}とは様子の異なる数の構造が見えてくる。それこそがp進数である。

p進数を得るときに利用する距離はp進距離と呼ばれる。p進距離の定義を理解するために、まずはp進付値とp進絶対値について説明する。ある有理数qが以下のように表されるとする。

 \displaystyle{
q = p^m \frac{a}{b}
}

ここで、pは素数であり、 m, a, b \in \mathbb{Z} (a, bはpで割れない)である。このとき、 \mathrm{ord}_p (q) = mをqのp進付値と呼ぶ。ただし、 \mathrm{ord}_p(0) = \inftyとする。また、 \left|q\right|_p = p^{-\mathrm{ord}_p (q)}で表される数をqのp進絶対値と言う。

これでp進距離が定義できる。p進距離とは、有理数 q_1, q_2に対して、 \mathrm{d}_p(q_1, q_2) = \left|q_1 - q_2\right|_pで表される値のことを言う。これが距離の公理を満たしていることの説明は割愛する。

このようにして定義されるp進距離に対して \mathbb{Q}を完備化したものはp進体 \mathbb{Q}_pと呼ばれており、 \mathbb{R}に匹敵するほどの豊かな構造を持っていると言われている。そして、 \mathbb{Q}_pの元をp進数と呼ぶのである*1

p進整数環

さて、本稿のタイトルからも分かる通り、ここでの主役はあくまでp進整数である。これを定義しておく必要がある。この目的のために、先ほど導入したp進付値を \mathbb{Q}_pにも拡張しておこう。 r \in \mathbb{Q}_pに対して、有理数の列 (x_n)_{1\le n}がrにp進距離について収束する(これをp進収束と呼ぶ)とき、 \mathrm{ord}_p(r)を以下のように定義する。

 \displaystyle{
\mathrm{ord}_p(r) = \lim_{n \to \infty} \mathrm{ord}_p (x_n)
}

(この極限の収束に関しては追記を参照。)
このとき、p進付値が0以上となるような \mathbb{Q}_pの元をp進整数と呼ぶ。p進整数全体の集合は環を成しており、これをp進整数環 \mathbb{Z}_pと呼ぶ。

整数環とp進整数環の関係

これでやっと本題に入れる。実は、 \mathbb{Z} \mathbb{Z}_pの間には、以下に示すような関係がある。

 \displaystyle{
\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_p/p^n \mathbb{Z}_p
}

本稿ではこれの意味するところについて考えてみようと思う。

証明の準備

まずは証明だ。「数論Ⅰ」を見るとこれの証明が書かれているのだが、何度読んでもいまいちピンと来ず、理解が曖昧なままであった。

少し検索してみたところ、参考文献[2]に証明が載っていた。この証明を理解するために、逆極限によるp進整数環の導入について説明する。以下で説明することは一見すると上で説明した \mathbb{Z}_pと全く異なるように見えるかもしれないが、実際には同じものである。

まず、集合 X_n\ (n=1, 2, 3, \cdots)写像 f_n : X_{n+1} \to X_nから成る以下のような系列が与えられたとする。

 \displaystyle{
\cdots \xrightarrow{f_4} X_4 \xrightarrow{f_3} X_3 \xrightarrow{f_2} X_2 \xrightarrow{f_1} X_1
}

このとき、積集合 \prod_{1 \le n} X_nの以下のような部分集合を逆極限と呼ぶ。

 \displaystyle{
\lim_{\substack{\longleftarrow\\n}} X_n = \left\{(a_n)_{1\le n} \in \prod_{1 \le n} X_n ;\ \forall n \in \mathbb{N},\ f_n(a_{n+1}) = a_n \right\}
}

上記において X_n = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}とし、 f_n \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}から \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}への自然な全射とすると、以下のような関係が得られる。

 \displaystyle{
\lim_{\substack{\longleftarrow\\n}} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} =  \mathbb{Z}_p
}

証明

準備が整ったので証明に移ろう。まず、写像 g_n : \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z},\ (a_i)_{1\le i} \mapsto a_nを考える。これは明らかに全射である。また、 \mathrm{Ker}g_nを考えると、これは \mathbb{Z}_p = (a_i)_{1\le i}の中で a_n = 0となるような元の集合である。定義より a_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}なので、 \mathrm{Ker}g_n = p^n \mathbb{Z}_pとなる。よって準同型定理により \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_p/p^n \mathbb{Z}_pが分かる。

具体的な対応関係

整数環とp進整数環の間に上述のような同型が得られたわけだが、証明だけ見てもなんだかよく分からないだろう。同型と言うからには両者の間に環としての1対1対応があるはずだから、それを具体的に探ってみよう。

まずは簡単な方からということで、 \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}の方を考えてみる。こちらは位数 p^nの環であり、その元は \left\{\overline{0}, \overline{1}, \cdots, \overline{p^n-1}\right\}である。

次に、これらの元と対応する \mathbb{Z}_p/p^n \mathbb{Z}_pの元を考えてみよう。これの元は (a_i)_{1\le i} + p^n \mathbb{Z}_pと書ける。ここで、 1 \le i \le nの場合は a_i \lt p^nであるため、 p^n倍の差を同一視したところで違いはない。しかし、 n \lt iの場合は p^n \le a_iとなることがあり得る。そこで、 \mathbb{Z}_pの各 \mathbb{Z}/p^i \mathbb{Z}において p^nを法として合同な数同士を同一視すれば、 \mathbb{Z}_pの元は p^n個の同値類に集約される。すなわち \mathbb{Z}_p/p^n \mathbb{Z}_p = (a_i \mod p^n)_{1\le i}である。そして、 n \le iにおいて a_i \equiv 0, 1, \cdots, p^n-1 \mod p^nとなる元を順次 \overline{0}, \overline{1}, \cdots, \overline{p^n-1}と対応させていけば、確かに1対1の対応関係が見えてくることが分かる。

まとめ

以上、整数環とp進整数環の関係について調べてみた。本稿で述べたことはp進数のほんの触りでしかなく、まだまだ奥深い話が山ほどあるようだ。数論マスターへの道は遠く険しい。

追記

文中に登場した以下の極限の収束性について考察する。

 \displaystyle{
\mathrm{ord}_p(r) = \lim_{n \to \infty} \mathrm{ord}_p (x_n)
}

結論から言うと、 \mathrm{ord}_p(r) \in \mathbb{Z} \cup \{\infty\}となる。これについて以下で説明する。

前提

 x_nがあるp進数rにp進収束することより、 x_nはp進距離についてコーシー列になる。すなわち、任意の実数 \epsilon > 0に対してある N \in \mathbb{N}が存在して、 \forall m, n > Nについて \left | x_m - x_n \right| _p < \epsilonが成立する。ここで、 \mathrm{ord}_p(x_n) = - \log_p \left|x_n \right|_pとなることより、この不等式を以下のように変形できる。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
\left| x_m - x_n \right| _p &<& \epsilon \\
 - \log_p \left| x_m - x_n \right| _p &>& - \log_p \epsilon \\
 \mathrm{ord}_p (x_m - x_n) &>& \log_p \frac{1}{\epsilon} \\
\end{eqnarray}
}

ここで、 \epsilonは任意の正の実数なので、 M = \log_p \frac{1}{\epsilon}とおけば、 Mを任意の実数と考えてもよい。すなわち、任意の実数 Mに対してある N \in \mathbb{N}が存在して、 \forall m, n > Nについて \mathrm{ord}_p (x_m - x_n) > Mが成立する。

以下で、 \mathrm{ord}_p(x_n)の極限を2つの場合に分けて考察する。

Case 1: 任意の実数 Mについてある N \in \mathbb{N}が存在して、 \forall n > Nについて \mathrm{ord}_p(x_n)  > Mとなるとき

 \lim_{n \to \infty} \mathrm{ord}_p(x_n) \to \inftyとなり、p進付値は正の無限大に発散する。このとき、 \lim_{n \to \infty}\left|x_n - 0 \right| _p = 0となるため、 x_nは0にp進収束する。定義より \mathrm{ord}_p(0) = \inftyとしていたので、これは理にかなった結果であると言える。

Case 2: ある Mについて、どんなに大きな N \in \mathbb{N}を取っても自然数 k> Nが存在して、 \mathrm{ord}_p(x_k) \le Mとなるような x_kが存在するとき

同じ Mに対して、仮定よりある N'が存在して、 \forall m, n > N'について M < \mathrm{ord}_p (x_m - x_n)が成立する。 Nは任意なので、 N=N'であっても条件を満たす x_kは存在する。この時、任意の n > N'について以下が成立する。

 \displaystyle{
\begin{eqnarray}
\mathrm{ord}_p(x_n) &=& \mathrm{ord}_p((x_n - x_k) + x_k) \\
                    &=& \min\{\mathrm{ord}_p(x_n - x_k), \mathrm{ord}_p(x_k)\} \\
                    &=& \mathrm{ord}_p(x_k)
\end{eqnarray}
}

ここで、2つ目の等号は \mathrm{ord}_p(x_n - x_k) \neq \mathrm{ord}_p(x_k)の時しか成立しないので注意が必要であるが、今はその条件を満たしているので問題ない。

 nは任意なので、結局以下が成り立つ。

 \displaystyle{
\mathrm{ord}_p(x_{N'+1}) = \mathrm{ord}_p(x_{N'+2}) = \cdots = \mathrm{ord}_p(x_{k}) = \cdots
}

すなわち、 N'+1以降は全てp進付値が一致するため、 x_nは収束する。

以上2つのケースをまとめると、冒頭で述べた結果が得られる。

参考

[1]

数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス)

数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス)

[2] http://mathematics-pdf.com/pdf/p_adic_field.pdf

*1:Wikipediaを見ると、個々の数もp進数と呼ぶし、p進体のこともp進数と呼ぶように見受けられる。

ホモロジー群とその計算例

数学

本稿では位相幾何学における基本的な量であるホモロジー群と、いくつかの図形に対するホモロジー群の計算例について述べる。

位相不変量としてのホモロジー

位相幾何学では、図形を位相空間であると捉え、位相同型な空間同士は同じ図形であると考えるというのが基本である。2つの位相空間A, Bが位相同型であるとは、連続な全単射 f: A\to Bで、 f^{-1}も連続であるようなものが存在することを言う*1

しかし、どうも一般に2つの空間が互いに位相同型であるかどうかを見分けることは難しいようで、位相幾何学では代わりに位相同型な空間の間で一定に保たれる性質、すなわち位相不変量に着目するようである。位相不変量としては、簡単なところではコンパクト性や連結性などが挙げられるが、ホモロジー群もその1つなのである。

2つの空間の間でこれらの位相不変量が一致することは、それらが位相同型であるための必要条件であるが、十分条件ではない。例えば、2つの位相空間が同じホモロジー群を持っていたとしても、それらが必ずしも位相同型であるとは限らない。しかし、少なくともホモロジー群が異なる空間同士が位相同型ではありえないことは分かるので、その意味でこのような位相不変量に着目することは有用であると言えよう。

ホモロジー群の定義

ホモロジー群の定義を理解するためには、以前の記事でも紹介した境界写像について理解する必要がある。本稿では境界写像については説明しないので、気になる方はググって頂くか、こちらの記事を見ていただきたい。

では、ホモロジー群の定義について述べてみる。位相空間Kのr+1次元鎖群 C_{r+1}(K)に対する境界写像 \partial_{r+1}の像を B_r(K) = \mathrm{Im}(\partial_{r+1})とおく。また、r次元鎖群 C_r(K)に対する境界写像 \partial_rの核を Z_r(K) = \mathrm{Ker}(\partial_r)とおく。

一般に、r+1次元鎖cに対して \partial_{r}(\partial_{r+1}(c))=0となることから、以下が成立する。

{ \displaystyle
B_r(K) = \mathrm{Im}(\partial_{r+1}) \subset \mathrm{Ker}(\partial_r) = Z_r(K)
}

また、当然 Z_r(K) \subset C_r(K)かつ B_r(K) \subset C_r(K)である。 C_r(K)は自由アーベル群であり、かつ一般に自由アーベル群の部分群は自由アーベル群であるから、 B_r(K) \lhd Z_r(K)である。

このとき、以下の式で表される剰余群 H_r(K)をr次元ホモロジー群と呼ぶ。

{ \displaystyle
H_r(K) = Z_r(K) / B_r(K)
}

ホモロジー群の意味

ホモロジー群は位相空間の連結性や穴に関係がある。私も不勉強で明確に説明できるレベルには達していないが、例えば0次元ホモロジー H_0(K)のrank(ホモロジー群のrankをベッチ数とも呼ぶ)は連結成分の数に対応しており、また H_1(K)のベッチ数は1次元的なループによる穴の数、 H_2(K)は面により囲まれる3次元空間上の穴の数に対応していたりするようだ。詳しくは本稿の参考文献[2]を参照して頂きたい。

ホモロジー群の計算例

では、具体的にいくつかの図形についてホモロジー群を計算してみよう。初めは手計算を試みたのだが、あまりに大変なので断念し、今回もsageのお世話になることにした。

n次元球面

 S^1

基本的な図形のいくつかはsageに最初から用意されている。n次元球面もその1つだ。以下のように計算できる。

sage: S1 = simplicial_complexes.Sphere(1)  # 1次元球面を取得
sage: S1.homology()  # ホモロジー群を計算
{0: 0, 1: Z}

最後の出力は、 H_0(S^1) = 0,  H_1(S^1) = \mathbb{Z}であることを示している。しかし、これはなんだかおかしい。というのも、 S^1の連結成分は1つだから、 H_0(K) = \mathbb{Z}にならなければならないはずだ。

sageのマニュアルを見ると、どうもhomology関数はデフォルトではreduced homologyなるものを計算しているらしい。これの正体はいまいち分からないが、普通のホモロジー群を計算するためには、以下のようにオプションを追加してやれば良いようだ。

sage: S1.homology(reduced=False)  # Reduced homologyじゃないよ!というオプション
{0: Z, 1: Z}
 S^2

同様に計算してみる。

sage: S2 = simplicial_complexes.Sphere(2)
sage: S2.homology(reduced=False)
{0: Z, 1: 0, 2: Z}
 S^3

同上。

sage: S3 = simplicial_complexes.Sphere(3)
sage: S3.homology(reduced=False)
{0: Z, 1: 0, 2: 0, 3: Z}
n次元球面まとめ

結果を以下の表にまとめる。

 H_0  H_1  H_2  H_3
 S^1  \mathbb{Z}  \mathbb{Z} - -
 S^2  \mathbb{Z} 0  \mathbb{Z} -
 S^3  \mathbb{Z} 0 0  \mathbb{Z}

n次元球面にはn+1次元の穴が1つだけ空いており、それ以外の穴は空いていない。それが H_nのベッチ数に反映されている様子が見られた。楽しい。

トーラス

 T^2

2次元トーラス(つまり普通のトーラス)も最初から用意されている。

sage: T2 = simplicial_complexes.Torus()
sage: T2.homology(reduced=False)
{0: Z, 1: Z x Z, 2: Z}
 T^3

3次元以上のトーラスはプリセットとしては用意されていない。しかし、3次元トーラス T^3 T^3 = S^1 \times S^1 \times S^1となるので、1次元球面の直積を計算すればよい。

sage: T3 = S1.product(S1).product(S1)
sage: T3.homology(reduced=False)
{0: Z, 1: Z x Z x Z, 2: Z x Z x Z, 3: Z}
 T^4

同じように計算してみる。

sage: T4 = S1.product(S1).product(S1).product(S1)
sage: T4.homology(reduced=False)  # この計算がなかなか重い
{0: Z, 1: Z x Z x Z x Z, 2: Z^6, 3: Z x Z x Z x Z, 4: Z}

こちらはどうにも計算が重く、一度は諦めたのだが、再度頑張って計算してみた。ホモロジー群を計算機で求めるのは思ったより大変なんだなぁ。

トーラスまとめ

結果を以下の表にまとめる。ただし、 T^1 = S^1としている。

 H_0  H_1  H_2  H_3  H_4
 T^1  \mathbb{Z}  \mathbb{Z} - - -
 T^2  \mathbb{Z}  \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  \mathbb{Z} - -
 T^3  \mathbb{Z}  \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  \mathbb{Z} -
 T^4  \mathbb{Z}  \mathbb{Z}^4  \mathbb{Z}^6  \mathbb{Z}^4  \mathbb{Z}

なんとパスカルの三角形のようなパターンが浮かび上がってきた。面白すぎる!

高次元のトーラスの解釈は難しいが、 T^2に関しては、トーラスをドーナツの輪っか的に回るループと、胴回りを回るループの2つがあり、それが H_1の構造に見えているのが面白い。また、ドーナツの中は空洞であるため、 H_2(T^2) = \mathbb{Z}となっているのだろう。

向き付け不可能な図形

向き付け不可能な図形についてもホモロジー群を計算してみよう。代表的なものとして、メビウスの帯クラインの壺を取り上げる。

メビウスの帯

残念ながら、メビウスの帯はsageには用意されていない。そのため、頑張って単体分割から計算するしかなさそうだ。メビウスの帯を以下の図のように単体分割してみよう。

f:id:peng225:20170218125958p:plain

赤矢印で示した向きに左右の辺をくっつければメビウスの帯になる。これをsageで計算するには以下のようにすればよい。

sage: M = SimplicialComplex([[1, 2, 3], [3, 4, 1], [4, 3, 5], [5, 2, 4], [2, 5, 1]])  # 三角形を全て指定
sage: M.homology(reduced=False)
{0: Z, 1: Z, 2: 0}

ちなみに、本当は三角形の辺とか頂点も含めないと単体複体の定義を満たさないが、これらは自動的に追加されているようだ。

結果を見ると、連結成分が1つで、1次元的なループによる輪っかが1つという、なんとも普通の結果になった。実は、ホモトピー同値*2位相空間ホモロジー不変となるらしく、メビウスの帯ホモロジー群は S^1と同じになるそうだ。詳細は参考文献[6]の議論を参照のこと。

クラインの壺

こちらはsageに用意されたものがあるので、それを利用しよう。

sage: K = simplicial_complexes.KleinBottle()
sage: K.homology()
{0: 0, 1: Z x C2, 2: 0}

ここで、Z x C2というのは \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}を意味している。C2という表記は、2次元巡回群(Cyclic group)ということである。

ここで、始めてホモロジー群の中に捩れが登場した。これをどう幾何学的に解釈したらよいだろうか?私自身、まだ体系的に理解しているわけではないが、少なくとも今回のケースでは、クラインの壺を「捻れたトーラス」と捉えることができるのだと思っている。以下の図を見て頂きたい。

f:id:peng225:20170218130844p:plain

左はトーラス、右はクラインの壺を表している。同じ色の矢印で示した辺をこの向きにくっつけることで、それぞれの図形が出来上がる。ここで、クラインの壺は左右の辺の向きが逆になっているのがポイントである。これを同じ向きに揃えてくっつけるためには、まず青矢印の辺をくっつけたあと、ひねりを加えて赤矢印の辺をくっつけなければならない。これがホモロジー群の捩れとして現れているのではないだろうか?

もっとも、これを3次元ユークリッド空間内で実現しようと思うと、自身を貫くような形になってしまうため、本当は4次元空間で考えなければならない。

ここで、「メビウスの帯だって図形的に捩れているじゃないか」という疑問が思い浮かぶ訳だが、メビウスの帯 S^1ホモトピー同値であり、本質的には捩れていなかったのだと考えるしかないのだろう。

まとめ

以上、ホモロジー群の定義と、いくつかの図形における具体的な計算例を示した。やはり具体例を見ることで現象への理解は格段に深くなる。ホモロジー群の捩れを一般的にどう解釈したらよいのかはまだ未知であるが、それはおいおい考えてみよう。

*1:位相空間は一般には距離空間とは限らないため、位相空間における連続写像の定義はちょっとややこしい。詳しくは位相空間の教科書を参照。

*2:位相空間の中で2つの図形を連続的に変形させて互いに行き来できるとき、これらをホモトピー同値と言うのだと思っている。位相同型と何が違うのかというと、例えば円と帯のように、次元が異なるような図形であっても、連続的な変化で行き来できればホモトピー同値になるという点が挙げられるだろう。ただし、これは私が根拠なく考えていることなので、正確にはトポロジーの教科書を参照して頂きたい。

有限生成アーベル群の捩れがrankと無関係な理由

数学

有限生成アーベル群のrank

今日もトポロジーの本を読んでいて得られた副次的な知見について書いてみたいと思う。それは、有限生成アーベル群のrankにまつわる話である。有限生成アーベル群の基本定理により、任意の有限生成アーベル群Gは以下の形の群と同型になる。

{ \displaystyle
G \cong \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_s\mathbb{Z} \ (e_i \in \mathbb{N} \ \mathrm{for}\  i = 1, 2, \cdots, s)
}

ここで、 \mathbb{Z}^rとは \mathbb{Z}^r = \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}というように \mathbb{Z}のr個の直積を表す。このとき、rをGのrankと言う。

さて、このrankという概念には、Gの捩れ元、すなわち \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_s\mathbb{Z}の部分は一切関係しない。これはなぜなのかというのが本日の主題である。

rankと一次独立性

恐らく多くの人がrankという言葉を初めて聞くのは、線形代数においてであろう。行列のrankと言った時に、それは様々な解釈の仕方があるが、例えば行列の行、または列の中に一次独立なベクトルが最大で何本取れるかということを表していたりする。このように、rankとは一次独立性と関係がある概念なのであるが、実はそれは有限生成アーベル群においても同様なのである。ただし、捩れ元のせいで様子は少し奇妙なことになる。

Gの生成元を a_1, a_2, \cdots, a_{r}, b_1, b_2, \cdots, b_sであるとし、各 a_i\ (i=1, 2, \cdots, r) \mathbb{Z}を生成し、各 b_i\ (i=1, 2, \cdots, s) \mathbb{Z}/e_i\mathbb{Z}を生成するとする。このとき、これらの生成元のうち、一体いくつの元が一次独立であるかを考えてみる。もし全ての生成元が一次独立であれば、それらの生成元の線形結合が0になるのは係数が全て0の時のみである。すなわち、以下のような方程式の解が n_1 = n_2 = \cdots = n_{r+s} = 0のみとなる。

{ \displaystyle
n_1 a_1 + n_2 a_2 + \cdots n_r a_r + n_{r+1} b_1 + n_{r+2} b_2 + \cdots + n_{r+s} b_s = 0
}

しかし、実はこれは正しくない。なぜなら、後半の生成元 b_1, b_2, \cdots, b_sは位数有限であり、以下のようにしても上記の線型結合の値を0にできるからである。

{ \displaystyle
0 a_1 + 0 a_2 + \cdots 0 a_r + e_1 b_1 + e_2 b_2 + \cdots + e_s b_s = 0
}

本当に係数を0にしないと線型結合が0にできない部分というのは生成元の前半部分 a_1, a_2, \cdots, a_rのみである。これがGのrankをrだと考える理由である。

まとめ

以上、有限生成アーベル群のrankは生成元のうち一次独立なものの個数を表しているというお話であった。位数無限の生成元だけでは群全体を生成することができないのに、一次独立になるのはそれらの生成元だけだというのは、線形代数の感覚からするとなんとも奇妙である。それ故に面白い。

2回続けてトポロジーとは直接関係ない記事が続いたので、そろそろトポロジーについても何か書いてみたい。

参考

トポロジー (応用数学基礎講座)

トポロジー (応用数学基礎講座)

群の同型と剰余群の罠

数学

先日トポロジーの本を読んでいたときに、私が剰余群について疑問に思ったことについて言及されている箇所があった。本稿ではそれについて書いてみたいと思う。

疑問

剰余群の最も簡単な例として、 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}を考えてみよう。これが位数2の巡回群になるのは周知の通りであるが、ちょっと考えてみて欲しい。 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}はどちらも可算無限集合であるから、全ての元に対して0から順に番号を付けることができる。例えば以下のように番号を付けたとしよう。

# 0 1 2 3 4 5 ...
 \mathbb{Z} 0 1 -1 2 -2 3 ...
 2\mathbb{Z} 0 2 -2 4 -4 6 ...

これより、 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}において同じ番号が振られた元の間に一対一の対応関係を考えることができる。すなわち、以下のように定義される群同型 \phi : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}が存在する。

{ \displaystyle
\phi(n) = 2n
}

よって \mathbb{Z} \cong 2\mathbb{Z}である。つまり、 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}は群として同じ構造を持っているので、 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{0\}となってしまいそうな気がする。しかし、これは \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}の位数が2であることに矛盾する。一体何が間違っているのだろうか?

基底に着目しよう

私が読んだ本に記載があったのは自由加群のみであったので、まずはそれについて紹介する。ポイントは自由加群としての基底に着目することである。

 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}はどちらも自由 \mathbb{Z}-加群であるから、基底を取ることができる。そして、 \mathbb{Z}係数による基底の線型結合によって、全ての元を表すことができる。 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}はどちらも1つの基底によって張られる。ここではそれぞれの基底として1と2を取ってみよう。このとき、 \mathbb{Z} 2\mathbb{Z}の元はそれぞれ n \cdot 1 = n \ (n \in \mathbb{Z}),  m \cdot 2 = 2m \ (m \in \mathbb{Z})と表すことができる。

これらの基底に着目して剰余群 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}を考えてみよう。 \mathbb{Z}の元の 2\mathbb{Z}による剰余類は m + 2\mathbb{Z},\ m \in \mathbb{Z}という形で表される。ここで、mを 2\mathbb{Z}の基底の線型結合で表される部分とそうでない部分に分けることを考える。 2\mathbb{Z}の基底として2を選んでいるから、 m = 0 + 2kまたは m = 1 + 2kとなる。よって、 m + 2\mathbb{Z} = 0 + 2\mathbb{Z}または m + 2\mathbb{Z} = 1 + 2\mathbb{Z}の2つの同値類が得られる。そのため、 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}は位数2の群になるのである。

このように、自由加群の剰余群を考えるときには、その基底に着目すれば間違えることはない。ある自由加群A, Bが A \cong \mathbb{Z},  B \cong \mathbb{Z}だからといって、 A/B \cong \mathbb{Z}/\mathbb{Z}とは限らず、丁寧に基底を追う必要があるのである。

もっと複雑な例

 \mathbb{R}^3の2つのベクトル {\bf x}, {\bf y} \in \mathbb{R}^3を考える。ただし、 {\bf x}, {\bf y}は互いに一次独立であるとする。これらのベクトルが張る \mathbb{R}^3の部分空間 E = l{\bf x} + m{\bf y},  F = n({2\bf x} + 4{\bf y})  (l, m, n \in \mathbb{Z})について考えてみよう。これらは自由 \mathbb{Z}-加群として考えると、 E \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z},  F \cong \mathbb{Z}となる。

 F \subset EかつE, Fともに加法についてアーベル群であるから、 F \lhd Eとなる。よって剰余群 E/Fを考えることができる。もし同型に着目した間違った計算をしていたら、 E/F \cong (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}としてしまうところである。

正しくはこうだ。まず、Fの基底は 2{\bf x} + 4{\bf y}である。Eの任意の元 l{\bf x} + m{\bf y}を、Fの基底の線形結合で表される部分とそうでない部分に分けると、以下のようになる

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
l{\bf x} + m{\bf y} &=& (l-2k){\bf x} + (m-4k){\bf y} + k(2{\bf x} + 4{\bf y}) \\
&=&
 \begin{cases}
    0{\bf x} + (m-4k){\bf y} + F & (l=2k) \\
    {\bf x} + (m-4k){\bf y} + F & (l=2k+1)
  \end{cases}\\
&=&
 \begin{cases}
    0{\bf x} + m'{\bf y} + F & (l=2k) \\
    {\bf x} + m'{\bf y} + F & (l=2k+1)
  \end{cases}
\end{eqnarray}
}

最後の式変形では m' = m-4kと置いた。4kが何であろうとmによる自由度があるので、m'は全ての整数を動くことができる。よって {\bf x}, {\bf y}の係数に着目すると、 E/F = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}であることが分かる。

残った疑問

以上、自由加群については基底に着目することで剰余を正しく捉えられることが分かった。残る問題は自由加群でない場合にどう考えればよいかである。ただし、この問題は恐らく位数有限の場合には起こらない。なぜなら、この現象は2つの異なる集合があったときに、それらがどちらも可算無限という名のもとに同一視されたときに起こる現象だからである。

そのため、より正確には「自由加群でない位数無限の群の場合に剰余をどのように扱うべきか?」という問いになる。例えば、有限生成アーベル群なんかがそうだ。この場合、自由加群でないため基底は存在しないが、ひょっとしたら生成元に着目することで何か分かることがあるのかもしれない。が、あまりそのようなケースで困ったことがないので、この問題について考えるのはこれくらいにしておこうと思う。

参考

トポロジー (応用数学基礎講座)

トポロジー (応用数学基礎講座)