「リーマン積分＜ルベーグ積分」という感覚を味わう

ルベーグ積分について調べていると、ルベーグ積分はリーマン積分より優れているという文面をよく見かける。これは恐らく事実なのだが、それを知るには両者を様々な観点から比較してみる必要があるだろう。

そこで、本稿では特に基本的な2つの観点、すなわち、積分可能条件と項別積分可能条件について両者を比較し、ルベーグ積分がいかに優れているかを味わってみようと思う。

積分可能条件

リーマン積分可能条件について学部の解析学の講義で習うのは以下のような事実であろう。すなわち、関数fの上ダルブー和と下ダルブー和の極限が一致するときfは積分可能と言い、その極限がfの積分となるのである[2]。これを一歩推し進めると、以下の定理が成立する[1]。

リーマン積分可能条件

有界関数 $f : [\alpha, \beta] \to \mathbb{R}$ について次が成立する：
fがリーマン積分可能であるための必要十分条件は, fがほとんど至るところで連続となることである。そしてこのときfはルベーグ積分可能で

$\displaystyle{ (R) \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = (L) \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx }$

ただし、積分記号の前に(R)、(L)が付いているのはそれぞれリーマン積分、ルベーグ積分を表す。これを見ると分かるように、リーマン積分が扱えるのは有界関数に限定され、積分範囲についても有界閉区間しか許されない。

ルベーグ積分可能条件については以下が成立する[1]。

ルベーグ積分可能条件

E上の正値関数fに対して, 単純関数 $0 \le \phi(x) \le f(x)$ の積分

$\displaystyle{ \int_E \phi(x) dx }$

の上限が有限であるとき, それを

$\displaystyle{ \int_E f(x) dx }$

で表し, fをE上で積分可能とよぶ。
正値でない関数fに対しては

$\displaystyle{ f^{+}(x) = \max\{f(x), 0\},\ f^{-}(x) = \max\{-f(x), 0\} }$

が共に積分可能のとき積分可能と定め,

$\displaystyle{ \int_E f(x) dx = \int_E f^{+}(x) dx - \int_E f^{-}(x)dx }$

とする。

ただし、Eは可測集合である。

このように、ルベーグ積分は必ずしも有界でない関数に対しても行うことができる。また、積分区間は閉区間でも開区間でもよく、もっと言うと区間である必要もなければ有界である必要すらない。そのため、ルベーグ積分はリーマン積分と比べてより幅広く積分が可能となるのである。

広義積分の場合

リーマン積分は極限と組み合わせることで、積分可能な関数のクラスを拡張することができる。これを広義リーマン積分と呼ぶ。

実は、ルベーグ積分不可能だが、広義リーマン積分可能な関数が存在する。そう聞くと、「なんだ、ルベーグ積分がリーマン積分より優れているなんて嘘じゃないか」と思うかもしれない。しかし、広義リーマン積分は厳密にはリーマン積分とは異なるし、ルベーグ積分も同じように極限と組み合わせて広義ルベーグ積分に拡張することができる。その意味で、やはりルベーグ積分はリーマン積分より優れていると言えるだろう。

以下に各種積分が可能となる関数のクラスの包含関係を示す。

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具体例

いくつかの関数について、それぞれリーマン積分とルベーグ積分を行うことができるか見てみよう。

例1：ディリクレ関数

ディリクレ関数の定義を以下に示す。

$\displaystyle{ \chi_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} }$

これを区間[a, b]で積分することを考える。 $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ の稠密な部分集合なので、ディリクレ関数はほとんど至るところで不連続となる。よってこれをリーマン積分することはできない。

一方、ディリクレ関数は0, 1という有限個の値を取り、かつルベーグ測度に対して可測関数であることが容易に示されるため、ルベーグ積分可能である。 $\mathbb{Q} \cap [a, b]$ の測度は0であるため、具体的に積分を実行した結果は以下のようになる。

$\displaystyle{ \int_a^b \chi_{\mathbb{Q}}(x) dx = 0 }$

例2： $f(x) = \frac{\sin x}{x}$

この関数のグラフを以下に示す。

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この関数の区間 $[0, \infty)$ における積分を考える。積分区間が有界ではないため、これはリーマン積分不可能であるが、広義リーマン積分は可能である。

しかし、実はこれはルベーグ積分不可能である。理由は、 $\int_{0}^{\infty}f^{+}(x)$ も $\int_{0}^{\infty}f^{-}(x)$ も発散してしまうからである。広義リーマン積分の場合は正の部分と負の部分が絶妙なバランスを保って収束していたのだが、それぞれを個別に積分して差を取るというルベーグ積分の定義に従うと、無限大同士の引き算になってしまうのである。

ただし、ルベーグ積分に対しても広義積分を考えれば、この関数も積分することができる。詳しくは本[1]などを参照されたい。

項別積分可能条件

関数列 $\{f_n(x)\}$ に対してリーマン積分が項別積分可能な条件は以下のように表される[3]。

リーマン積分の項別積分可能条件

区間 $a \le x \le b$ において $f_n(x)$ が連続で, それが一様にf(x)に収束すれば,

$\displaystyle{ \int_{a}^{x} f_n(x) dx \to \int_{a}^{x} f(x) dx }$

両辺ともに連続で, 収束は一様.

一方、ルベーグ積分が項別積分可能な条件については、次の2つの定理が有名である[1]。

単調収束定理

積分可能関数 $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots$ と定数Kが与えられ,

$\displaystyle{ \{f_n\}_n \nearrow a.e. }$ かつ $\displaystyle{ \int_E f_n(x) dx < K \mathrm{\ for\ all}\ n }$

か, または

$\displaystyle{ \{f_n\}_n \searrow a.e. }$ かつ $\displaystyle{ \int_E f_n(x) dx > K \mathrm{\ for\ all}\ n }$

であるなら, $\{f_n(x)\}_n$ はほとんどすべてのxに対して有限の値に収束する。そしてその値をf(x)と表すと, 関数fは積分可能で

$\displaystyle{ \int_E f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x) dx }$

優収束定理

積分可能関数 $f_n$ , $g$ が与えられ,

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \ a.e.}$ かつ $\displaystyle{ \left|f_n(x) \right| \le g(x) \ a.e.}$

であれば, fは積分可能で

$\displaystyle{ \int_E f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_E f_n (x) dx }$

となる。

これら2つの定理の関係性については、調べてもいまいち情報が得られなかった。今のところは、どちらも同じくらい重要で、その時々によってどちらを使うべきか変わってくるのだと思っておくことにする。議論を簡略化するため、以下では主に優収束定理の方に着目する。

条件の厳しさの違いに関する疑問

リーマン積分は一様収束、ルベーグ積分は優収束定理により項別積分可能となるわけだが、実は優収束定理の方が緩い条件だと言われている。その理由は、優収束定理では関数列の各点収束しか求めていないからである。

しかし、これは簡単には納得できない。なぜなら、リーマン積分でもルベーグ積分でも、積分可能なのであれば結果は一致すべきだからだ。つまり、リーマン積分では項別積分すると計算結果が変わってしまうが、ルベーグ積分では変わらないなんてことがあってはならない。

この疑問の答えを探るために、以下の2つの例を考えてみよう。

例1： $f_n(x) = x^n$

この関数の区間[0, 1]での項別積分について考えてみよう。 $n \to \infty$ のとき、 $f_n(x)$ は以下の関数に各点収束する。

$\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \lt 1) \\ 1 & (x = 1) \end{cases} }$

しかし、x=1の付近でヤバい挙動をするため、一様収束とはならない。つまり、リーマン積分については項別積分可能とは言えない。

一方、ルベーグ積分については優収束定理の条件を満たすので、項別積分可能となる。積分可能なg(x)としては、例えば $g(x) = 1$ などとすればよい。

さて、これらの結論は一見すると矛盾しているように思える。一体、どちらが本当なのだろうか？

種明かしをすると、実はこれは項別積分可能である。実際、f(x)の積分は以下のようになる。

$\displaystyle{ \int_0^1 f(x) dx = 0 }$

また、 $f_n(x)$ の積分は以下のようになる。

$\displaystyle{ \int_0^1 x^n dx = \left[\frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} }$

$n \to \infty$ のときこれは0に収束するので、f(x)の積分と一致する。

結局のところ、リーマン積分における一様収束という条件は項別積分可能であるための十分条件に過ぎず、優収束定理はその条件をもっと精度良く広げていると言えるのだろう*1。

例2： $f_n(x) = \frac{n(n\chi_{\mathbb{Q}}(x) + 2)x}{n+1}$

この例は九州大学のあるpdf[4]から着想を得て、私が考えたものである。この関数を区間[0, 1]で積分することを考えてみよう。分子にディリクレ関数が含まれているので、実際には以下のように場合分けができる。

$\displaystyle{ f_n(x) = \begin{cases} \frac{n(n+2 )x}{n+1} & (x \in \mathbb{Q}) \\ \frac{2nx}{n+1} & (otherwise) \end{cases} }$

この関数はほとんど至るところで不連続なため、リーマン積分不可能である。しかし、ルベーグ積分は可能である。まず、 $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ の測度は0であるから、 $n \to \infty$ の極限は以下のようになる。

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f_n(x) &=& \lim_{n \to \infty} \frac{2nx}{n+1} \ a.e. \\ &=& 2x \ a.e. \end{eqnarray} }$

よって関数列 $f_n(x)$ は $f(x) = 2x$ に概収束する。ポイントは、 $x \in [0, 1] \cap \mathbb{Q}$ に対して $f_n(x) \to \infty$ となるが、それらの点は積分には影響を及ぼさないということである。

また、全てのnに対して $|f_n(x)| \le 2x\ a.e.$ なので、優収束定理により項別積分可能となる。

実際に確かめてみよう。まず、 $f_n(x)$ を積分してから極限を取ると以下のようになる。

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx &=& \lim_{n \to \infty} \left[\frac{nx^2}{n+1} \right]_0^1 \\ &=& \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \\ &=& 1 \end{eqnarray} }$