確率分布族の再生性まとめ

確率分布はたくさんある

統計学を勉強していると、世の中には本当にたくさんの確率分布が存在する事に気付く。現実世界の現象に統計学を応用しようと考えるとき、その現象にはどのような確率分布が良く当てはまるのかを考えたくなる時がある。そのためには、数ある確率分布がそれぞれどういう現象をうまく表現できるかということを知っておく必要がある。

そこで、本稿では基本的な確率分布の特徴についてまとめてみ・・・ようと思ったのだが、途中までやりかかったところですでに素晴らしいまとめ[1]が存在することに気づいた。

劣化コピーを作っても意味がないので、ここでは[1]に記載が少ない再生性に関する事項についてのみまとめてみる。ただし、さすがに[1]に記載されている全ての分布について調べるのはしんどいので、ここでは私が個人的に興味を持った分布についてのみ紹介する。詳細は[2][3][4][5][6]等を参照のこと。

離散型

名称 再生性  X_i\ (i=1,\ 2)  X_1 + X_2
二項分布 有り  Bi(n_i,\ p)  Bi(n_1 + n_2,\ p)
ポアソン分布 有り  Po(\lambda_i)  Po(\lambda_1 + \lambda_2)

連続型

名称 再生性  X_i\ (i=1,\ 2)  X_1 + X_2
正規分布 有り  N(\mu_i,\ \sigma_i^2)  N(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
対数正規分布 有り  \Lambda(\mu_i,\ \sigma_i^2)  \Lambda(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
指数分布 有り  Exp(\lambda)  Exp(2 \lambda)
ガンマ分布 有り  Ga(\alpha_i,\ \lambda)  Ga(\alpha_1 + \alpha_2,\ \lambda)
コーシー分布 有り  Ca(\alpha_i,\ \beta_i)  Ca(\alpha_1+\alpha_2,\ \beta_1+\beta_2)
 \chi^2分布 有り  \chi^2(m_1)  \chi^2(m_1 + m_2)
t分布 無し? - -

まとめ

調べてみると、意外と多くの確率分布族が再生性を持つことが分かった。世の中うまくできているものだ。

今回は[1]を見つけたことでブログを書くモチベーションが下がってしまったが、こういうまとめが存在すること自体は大変ありがたい。困ったときに活用させてもらおう。