有限体上の線形代数を探訪する ~ 行列編 ~
前回と前々回の記事では有限体の元を成分に持つ数ベクトルについて調べた。本稿ではその続きとして、有限体の元を成分に持つ行列について考えてみたいと思う。
確かめたいこと
あまり網羅的なアプローチではないが、さしあたり有限体の元を成分に持つ行列について私が気になっていることについて明らかにしていきたいと思う。以下にその一覧を示す。
本稿ではこれらについて考えてみる。なお、議論を発散させないために、線形空間や線形写像に関する話題は本稿のスコープ外とし、可能な限り持ち出さないようにする(ただし、どうしても1箇所だけ避けられなかった)。
基本変形
基本変形とは、対象となる行列に対して基本行列と呼ばれる3種類の行列を左右どちらかの方向から掛けることで行われる変換であった。
その意味で、「基本変形はできるのか?」と言われれば、体(というか環)であればできるということになるだろう。しかし、基本変形を行う通常のモチベーションは、行列を以下のような標準形に変形することにある。
ただし、で、は次単位行列、は行列の零行列を表す。
これはいつでも可能なのだろうか?以下で考えてみよう。
標準形への変形
や上の行列の行列の場合、標準形への変換は以下のように行われるのであった。
- とする。
- もし成分が0なら、行や列の入れ替えを行い0でない値になるようにする。もし行目以降、及び列目以降の全ての値が0なら処理を終える。
- 成分の乗法の逆元を行目の全ての数に掛ける。これで成分は1になる。
- 全てのに対して、列目に成分の値を掛けたものを列目から引く。これで成分が0になる。
- 全てのに対して、行目に成分の値を掛けたものを行目から引く。これで成分が0になる。
- もしなら処理を終える。さもなければに1を足して手順2以降を再度実施する。
これを見ると、やっているのは四則演算に過ぎず、また正標数ゆえに不意に和が0になって困るようなステップもないため、成分が有限体であっても標準形に変形できると言える。
もし環だったら
一般の環の元を成分に持つ行列の場合、必ずしも標準形に変形できるとは限らない。これは乗法の逆元が存在しないために対角成分を1にできないケースがあるからである。
例えば、の元を成分に持つ以下のような行列があったとする。
ここで、2は単元ではないため何を掛けても1にできない。従ってこの行列は標準形には変形できない。
rank
ここまで標準形の存在について述べてきたが、一意性については触れてこなかった。や上の行列の場合、標準形は変形のしかたによらず一意に定まり、そのとき対角成分に並ぶ1の数をその行列のrankと呼ぶのであった。そのため、有限体であっても標準形の一意性が保証されるかどうかは重要な問題である。以下で考えてみよう。
ところで、rankは他にも同値な定義がある。それらについては線形空間に触れる必要があって本稿のスコープ外だったり、私の興味の外だったりするため、本稿では触れないことにする。
rank の一意性
標準形の対角線上に並ぶ1の数という意味でのrankの一意性については、本[1]の定理4.2に証明がある。それをここで写経することは割愛するが、証明には四則演算の他に以下の定理を用いている。
有限体の場合、四則演算は問題なく行えるが、逆行列は同じように定義されるのだろうか?
これについては逆行列の構成方法を考えれば分かる。の余因子行列をとすると、逆行列は以下のように表される。
行列式も余因子行列も、究極的には四則演算さえできれば求められるため、これらは有限体上でも同様に計算できる。また、の場合のみ意味を持つという点も同様である。
以上により、有限体の元を成分に持つ行列であっても逆行列という概念はやの場合と同様に定義できそうだ。すなわち、rankの一意性は保証されると言えるだろう。
一次独立な列ベクトルの個数と行列式
ここでは正方行列についてのみ考える。
まずは私が疑問を持った具体例について説明する。の元を成分に持つ以下の行列について考える。
これの行列式は普通に計算すると-5になるが、今はで考えているので0になる。一見すると正則に見えるような行列であっても行列式が0になってしまうというのは、どう解釈すればよいのだろうか?
実は、このカラクリは前々回の記事と関係している。すなわち、有限体の元を成分に持つベクトルは、一見すると互いに平行かどうかが分かりにくいのである。そして、今は2つの列ベクトルの間にという関係があり、これらのベクトルは互いに平行だったのである。
結局、私の心配は杞憂であったと言えそうだ。