2017-01-24

二次体における素イデアルを全て求めることはできるか？

整数論

ここのところ代数的整数論を勉強しているわけだが、自分はどうにもイデアルに弱いようだ。その原因を考えてみると、どうにも単項イデアルでないイデアルに馴染みがないのが原因である気がしてきた。この悩みはきっと環論や代数的整数論を学び始めた人に共通の悩みなのではないかと思っている。というのも、整数環 $\mathbb{Z}$ がPIDだからだ。抽象的な議論を理解する拠り所として、やはり馴染みのある対象を具体例に用いて考えたくなるのが人の常だろう。しかし、代数体の整数環として多くの人にとって最も馴染み深いと思われる $\mathbb{Z}$ がPIDであるが故に、どうにも単項イデアルでないイデアルというのはイメージがしづらいのだ。

そこで、本稿ではPIDでないような環、具体的には類数*1が1でない適当な二次体における整数環を用いて、単項イデアルでないイデアルと戯れてみようと思っていた。しかし、ふと問題に気づいた。適当な二次体において、一体どうやってイデアルを求めたらよいのだろう？いや、イデアルを求めるだけなら簡単だ。例えば $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ という虚二次体において、適当に $a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ を取ると、 $\sum^n_{i=1} a_i \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ はイデアルになる。しかし、一般にイデアルというのはより簡潔な形で書き表すことができる場合がある。極端な例を挙げると、 $2\mathbb{Z} + 4\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}$ となったりする。そのため、イデアルを最も簡単な形にまで落とし込むことを考えないといけない。これはやや面倒くさい。

発想を変えよう。代数体の整数環はDedekind環であるから、一意な素イデアル分解が可能である。逆に、任意のイデアルは素イデアルを掛け合わせるこで生成できる。すなわち、素イデアルさえ求めることができれば、その環におけるイデアルのことは大体分かったような気がしてくる。

では、二次体の素イデアルを全て求めるにはどうしたらよいだろうか？これはこれで自明な問題ではない。そこで、本稿ではこの疑問の答えを探ることにする。

まず、全ての素イデアルの求め方について少し調べてみたところ、以下のような記事を発見した。

How do we find the prime ideals of a ring of integers of a number field? - Mathematics Stack Exchange

ここで、prime idealとは素イデアルのことである。これを見ると、どうやら有理数体 $\mathbb{Q}$ から代数体Lに拡大するときの素数の分解の仕方が鍵になっているように見える。素数の分解の仕方と言ったが、正確には素数によって生成される $\mathbb{Z}$ の素イデアル ${\bf p} = p\mathbb{Z}$ をLの整数環 $O_L$ に格上げしたイデアルである $O_L{\bf p}$ が、 $O_L$ においてどのように分解するかということを意味している。一般に、 $\mathbb{Z}$ の素イデアルを $O_L$ に格上げしたとき、それが $O_L$ においても素イデアルになるとは限らない。そうなるときもあるし、更なる素イデアル分解ができる場合もある。素数の分解の仕方の一般論には類体論が必要であるため、ここでは深入りしない。

しかし困った。調べても調べても、二次体の素イデアルを全て求める方法というのは、なかなかヒットしない。これはやはり難しい問題なのかもしれない。そこで、以下では具体的な二次体として $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ に着目し、何か法則めいたものがないか考えてみたいと思う。

$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の類数は2であるため、 $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{-5})} = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ はPIDではないことを初めに述べておく。 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ での素数 (しつこいようだが、正確には素数によって生成される $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のイデアル) の分解の仕方には、以下のようなルールがある。

pの値	分解の様子
$p \equiv 1, 3, 7, 9 \mod 20$	$(p)$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ で完全分解する。
$p \equiv 11, 13, 17, 19 \mod 20$	$(p)$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ でも素イデアルである。
$p = 2, 5$	$(p)$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ で分岐する。

ここで、分岐、不分岐、及び完全分解という言葉について説明する。 $\mathbb{Z}$ のある素イデアル ${\bf p}$ が分岐するとは、拡大体の整数環でさらに素イデアル分解したときに $O_L{\bf p} = {\bf p}_1^2$ というように指数が2以上となるような素イデアルが現れることを指す。不分岐とは分岐していないことを指す。また、完全分解とは、ある素イデアルが拡大次元nに対してn個の異なる素イデアルの積に分解されることを言う。 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})/\mathbb{Q}$ は2次拡大であるから、今の場合は異なる2つの素イデアルの積に分解できれば完全分解したことになる。

上で示した表をもう一度見てみよう。この表の中で一番簡単なのは $p \equiv 11, 13, 17, 19 \mod 20$ のケースである。この場合は拡大体の整数環においても $(p)$ が素イデアルになるので、何も考えることはない。例えば、 $37 \equiv 17 \mod 20$ なので、 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ において(37)は素イデアルである。*2

念のため、sageでも計算してみよう。

sage: L.<a> = QuadraticField(-5)  # 二次体を生成
sage: I = L.ideal(37)  # 37から生成されるイデアルを取得
sage: I.is_prime()  # 素イデアルか?
True  # 素イデアルだ!
sage: I = L.ideal(23)  # 試しに23から生成されるイデアルで同じことをしてみる
sage: I.is_prime()
False  # 素イデアルでない!

確かに(37)が素イデアルであることが確かめられた。

次に簡単なのが分岐するパターンである。これはそもそも2と5しかないので、それぞれの場合について素イデアル分解してみればよい。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (2) &=& (2, 1 + \sqrt{-5})^2 \\ (5) &=& (\sqrt{-5})^2 \end{eqnarray} }$

すなわち、 $(2, 1 + \sqrt{-5}), (\sqrt{-5})$ はどちらも素イデアルである。ただし、この分解は「数論Ⅰ」を参考に記載しただけであり、なぜこの分解が求まるのかは正直よく分かっていない。しかし、いずれにせよ分岐するイデアルは有限個しかないのだから、根性でそれらを分解すればおしまいという意味では、そこまでの難しさは無いだろう。

さて、残りは完全分解するパターンであるが、これは難しい。というのも、分かっているのは $\mathbb{Z}$ の素イデアルが $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では2つの素イデアルの積に分解するということだけで、それらが各素数pに対して具体的にどのような素イデアルになるのかが一見すると分からないからである。

しかし、これもある程度の法則性があるようだ。本によると、 $x^2 \equiv -5 \mod p$ を満たす整数xが存在するとき、 $(p) = (p, x+\sqrt{-5})(p, x-\sqrt{-5})$ に分解されるとのことである。この条件式の部分を日本語で解釈してみると、「2乗した値がpを法として-5に合同になるような整数xはあるか?」ということになる。言い換えると、「pを法とする世界に-5の平方根は存在するか?」ということである。その答えを知るには平方剰余の相互法則が使える。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \left(\frac{-5}{p} \right) &=& \left(\frac{-1}{p} \right)\left(\frac{5}{p} \right) \\ &=& (-1)^{\frac{p-1}{2}} (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{5-1}{2}} \left(\frac{p}{5} \right) \\ &=& (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p}{5} \right) \\ &=& 1 \ \ (p \equiv 1, 3, 7, 9 \mod 20) \end{eqnarray} }$

以上により、今回の場合は全ての $p \equiv 1, 3, 7, 9 \mod 20$ において、-5の平方根がpを法とする世界に存在することが分かった。すなわち、素イデアル分解が具体的に求まることが分かった。

試しに3, 7, 29, 41を分解してみよう。これらの素数を法とする世界での-5の平方根はそれぞれ1, 4, 13, 6であるから*3、これらの素数は以下のように分解することが分かる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (3) &=& (3, 1+\sqrt{-5})(3, 1-\sqrt{-5}) \\ (7) &=& (7, 4+\sqrt{-5})(7, 4-\sqrt{-5}) \\ (29) &=& (29, 13+\sqrt{-5})(29, 13-\sqrt{-5}) \\ (41) &=& (41, 6+\sqrt{-5})(41, 6-\sqrt{-5}) \end{eqnarray} }$

上式の右辺に登場する $(3, 1+\sqrt{-5})$ や $(29, 13-\sqrt{-5})$ などは全て素イデアルである。いくつかsageで計算してみよう。

sage: I = L.ideal(3, 1+a)
sage: I.is_prime()
True  # (3, 1+\sqrt{-5})は素イデアル!
sage: I = L.ideal(29, 13-a)
sage: I.is_prime()
True  # (29, 13-\sqrt{-5})は素イデアル!

これで一見落着かと思われるが、話はまだ終わらない。実は、(3), (7), (29), (41)のうち、(29)と(41)を素イデアル分解して得られる $(29, 13+\sqrt{-5}), (29, 13-\sqrt{-5}), (41, 6+\sqrt{-5}), (41, 6-\sqrt{-5})$ は単項イデアルなのだ！試しに $(29, 13+\sqrt{-5}), (41, 6-\sqrt{-5})$ だけ変形してみよう。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (29, 13+\sqrt{-5}) &=& ( (3+2\sqrt{-5})(3-2\sqrt{-5}), (3-2\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}) )\\ &=& (3+2\sqrt{-5})(3-2\sqrt{-5})\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] + (3-2\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\ &=& (3-2\sqrt{-5})\{(3+2\sqrt{-5})\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] + (1+\sqrt{-5})\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \} \\ &=& (3-2\sqrt{-5})\{(3a-10b) + (2a+3b)\sqrt{-5} + (c-5d) + (c+d)\sqrt{-5} | a, b, c, d \in \mathbb{Z} \} \\ &=& (3-2\sqrt{-5})\{(3a-10b+c-5d) + (2a+3b+c+d)\sqrt{-5} | a, b, c, d \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray} }$

ここで、 $A = 3a-10b+c-5d$ と置くと、さらに以下のように変形できる。

${ \displaystyle (3-2\sqrt{-5})\{A + (A-a+13b+6d)\sqrt{-5} | A, a, b, d \in \mathbb{Z} \} }$

上式で $b=d=0$ とすると、Aとaを適宜動かすことで、この式の{}の中は $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 全体を動く。よって最終的に以下のような単項イデアルが得られる。

${ \displaystyle (3-2\sqrt{-5}) }$

続いて、 $(41, 6-\sqrt{-5})$ も変形してみよう。こちらはとても簡単である。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (41, 6-\sqrt{-5}) &=& ((6+\sqrt{-5})(6-\sqrt{-5}), 6-\sqrt{-5}) \\ &=& (6-\sqrt{-5})((6+\sqrt{-5})\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] + \mathbb{Z}[\sqrt{-5}])\\ &=& (6-\sqrt{-5}) \end{eqnarray} }$

結局、先ほどの素イデアル分解の例は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (3) &=& (3, 1+\sqrt{-5})(3, 1-\sqrt{-5}) \\ (7) &=& (7, 4+\sqrt{-5})(7, 4-\sqrt{-5}) \\ (29) &=& (29, 13+\sqrt{-5})(29, 13-\sqrt{-5}) = (3+2\sqrt{-5})(3-2\sqrt{-5}) \\ (41) &=& (41, 6+\sqrt{-5})(41, 6-\sqrt{-5}) = (6+\sqrt{-5})(6-\sqrt{-5}) \end{eqnarray} }$

うーむ。これはやっかいだ。もともと、通常のイデアルを直接考えるとイデアルの簡約化が面倒だと思って素イデアルに着目したのに、素イデアルもこのように「実は単項イデアルで表せるものがあります」みたいなことになると、途方に暮れてしまう。

だが、安心して欲しい。実は、類体論の何やら難しい理論によると、なんと完全分解するイデアルの中でも、単項イデアルの積に分解できるものというのを判別することができるらしいのだ。今回の場合だと、 $p \equiv 1, 9 \mod 20$ となる素数は単項イデアルの積に完全分解できることが知られている。しかし、これ以上は今の私の力ではちょっと説明しきれないので、このあたりで切り上げたい。

以上により、 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の素イデアルを何とか求めることができることが分かった。ただし、難しい部分は全て類体論を理解していないと説明できないため、まだぼんやりとした部分が残る結果となった。とは言え、本稿の内容をまとめていく中で、単項イデアルでないイデアルに触れ合うという当初の目的が自ずと達成されたことは収穫であった。この調子で勉強を進め、類体論の核心に迫っていければと思う。

参考

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平方剰余の相互法則 - Wikipedia

*1:イデアル類群の位数のことを類数と呼ぶ。類数が1でない整数環はPIDにならない。

*2:ちなみに、 $39 \equiv 19 \mod 20$ なので一見(39)も素イデアルかと思うが、そもそも39は素数ではないので論外である。こういう凡ミスには注意。

*3:Wikipediaの「平方剰余の相互法則」のページを参照。

2017-01-15

代数的整数論におけるイデアル類群・単数群の初歩的な意味

整数論

2017年最初の記事である。今年は本業とプライベートが両方とも忙しくなりそうだが、そんな中でも数学をする時間をなんとか捻出したいと思う。数学に関する今年の抱負をいろいろと考えてみたのだが、今年は類体論の心を理解することを目標にしたいと思う。類体論とは、日本の高木貞治氏が切り開いた代数的整数論の一大分野である。本日はその一発目として、イデアル類群、及び単数群とはどういうものかについて考えてみる。参考書は「数論Ⅰ」を使用している。

代数的整数論では、整数を直接研究するのではなく、それよりもさらに広い概念である代数体の整数環というものを考える。そうして、整数全体をいわば外側から眺めることによって、整数の性質を理解しようと試みるのである。代数体とは、有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限次拡大体のことである。また、代数体Kの整数環 $O_K$ とは、Kにおける $\mathbb{Z}$ の整閉包のことである。これはすなわち、Kにおける $\mathbb{Z}$ 上整な元全体が成すKの部分環のことである。Kの例として、 $\mathbb{Q}, \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\zeta_5)$ などが挙げられる。また、それぞれに対応する整数環は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && O_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z} \\ && O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} = \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \\ && O_{\mathbb{Q}(\zeta_5)} = \mathbb{Z}[\zeta_5] \end{eqnarray} }$ *1

通常の整数環 $\mathbb{Z}$ では、任意の元は一意に素因数分解することができる。これを一般の環に拡張した概念が一意分解整域（もしくは一意分解環）での素元分解である。一意分解整域では、整数環での素数のアナロジーとして素元と呼ばれるものが存在し、全ての元は積の順序と単元を掛けることを除いて素元の積に一意に分解される。ここで、 $O_K$ が一意分解整域になっているかどうかを考えてみると、実は一般にはそうはなっていない。そのため、整数環 $\mathbb{Z}$ で成立した諸々の事実が、 $O_K$ では成り立たなくなってしまうのである。

そこで、昔の偉い数学者は素元分解と同じようなことをイデアルで実現できないかと考えた。これは一般に素イデアル分解と呼ばれているもので、要するに任意のイデアルを素イデアルの積に一意に分解するというものである。実は、素イデアル分解は $O_K$ の上で常に成り立つ。そのため、代数的整数論ではイデアルを考えることが重要となる。

しかしながら、最終的に知りたいのは整数の性質である。そのため、整数とイデアルの性質がどれくらいずれているのかを考えたくなる。その時に役立つのがイデアル類群、及び単数群なのである。

★★★（ここで論理が飛躍する。詳細は後述する。）★★★

ここで、 $O_K$ の分数イデアルという概念を考える。Kの部分集合 ${\bf a}$ が分数イデアルであるとは、 $O_K$ の0でない元cがあって、 $c{\bf a}$ が $O_K$ の0でないイデアルになることである。例えば $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ において ${\bf a} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ を考えてみる。このとき、 $c = 2$ とすると $c{\bf a} = (1+\sqrt{2})\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ となり、これは $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ のイデアルとなっている。そのため、 ${\bf a} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の分数イデアルである。

続いて、今度は主分数イデアルというものを考える。 $O_K$ の主分数イデアルとは、0でないKの元 $\alpha \in K^{\times}$ について、 $(\alpha) = \alpha O_K$ となるような分数イデアルのことである。もし $\alpha \in O_K$ となる場合、これは通常の $O_K$ の単項イデアル（もしくは主イデアル）の定義そのものである。主分数イデアルの例としてまた $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ を考えてみる。 $\alpha = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ とすると、 $(\alpha) = \frac{3 + \sqrt{2}}{5} \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ は主分数イデアルである。

実は、 $O_K$ の分数イデアル全体は乗法について群を成している。単位元は $O_K$ であり、 ${\bf a}$ の逆元は ${\bf a}^{-1} = \{x \in K | x{\bf a} \subset O_K\}$ で与えられる。そこで、 $K^{\times}$ から分数イデアルの群への準同型 $\phi : \alpha \to (\alpha)$ を考える。すると、 $\phi$ の核は $O_K^{\times}$ であり、余核は(分数イデアルの群)/(主分数イデアルの群)という剰余群になる。この $\phi$ の核と余核のことを、それぞれ単数群、及びイデアル類群と呼ぶのである。

一般に、ある準同型の核と余核は、それぞれ準同型の単射性、全射性に関係がある。核が自明であれば準同型は単射になるし、余核が自明であれば準同型は全射になる。イデアル類群と単数群は準同型 $\phi : \alpha \to (\alpha)$ の余核と核であるから、これらの大きさは数とイデアルの間のずれを表していると言われている。

さらに、イデアル類群に関する重要な事実として、イデアル類群が自明であることと、 $O_K$ が一意分解整域であることが同値だということが挙げられる。その意味で、イデアル類群は整数環上での素元分解の成り立たなさを示す指標だと捉えることができる。

ここまでが主に言いたかったことである。が、先ほど★で示した論理の飛躍について言及せねばなるまい。もともと数とイデアルの間のずれを理解したいというモチベーションから出発したはずなのであるが、なぜか唐突に分数イデアルが登場した。なぜイデアル類群は分数イデアルを用いて定義されねばならないのだろうか？(分数イデアルの群)/(主分数イデアルの群)を考える代わりに、(イデアルの群)/(主イデアルの群)を考えるのではダメだったのだろうか？

この問に対する答えが、いくら探しても見つからない。数学者が良く言う「自明」というやつだろうか？残念ながら、私にとっては自明ではない。ひょっとしたら、分数イデアルは群を成すが、イデアルは群にならないのかもしれないとか、いろいろ考えてはみるものの、答えはまだ出ていない。もし分かったら、本稿に追記したいと思う。（追記1参照）

追記1

やはりというか、よく考えたら $O_K$ のイデアル全体は乗法について群にならない。例えば $\mathbb{Z}$ を例に取ってみると、 $2\mathbb{Z}$ と掛けあわせて $\mathbb{Z}$ になるようなイデアルは存在しない。分数イデアルの場合、逆元は $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ となる。

群にならないと何が困るのだろうか？やりたいことは、 $O_K$ のイデアル全体の集合と主イデアル全体の集合がどれくらいかけ離れているかを調べることである。これを調べる手段として、仮にイデアル全体の集合が群であり、かつ主イデアル全体の集合がその正規部分群であったならば、両者の間に定義される剰余群の位数を調べるという方法が考えられる。しかし、残念ながら $O_K$ のイデアル全体の集合は群ではないので、それに変わる何かが必要となる。そこで、分数イデアルが登場するのではなかろうか。分数イデアル全体の集合は剰余に対してアーベル群を成すので、任意の部分群は正規部分群となる。そのため、分数イデアルの群と主分数イデアルの群（これは正規部分群）との間に剰余群を考えることができるのである。

これでもまだ100%納得できたわけではないが、とりあえずはよしとしよう。

参考

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*1: $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})} = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ となったりするので、整数環を求めるときはよく考える必要がある。

2016-12-31

閉形式の線積分とポテンシャル場の線積分

多様体

今日も微分形式とベクトル解析について書く。テーマは経路に依らない線積分である。

まず、ポテンシャル場における線積分について説明する。あるベクトル場 ${\bf f}$ において、経路Cに沿った線積分を行うことを考える。Cの始点は点P、終点は点Qであるとする。このとき、もし ${\bf f} = \mathrm{grad}\, \phi$ を満たす関数 $\phi$ が存在するとき、この線積分は以下のように経路に依らない値を取る。

${ \displaystyle \int_C {\bf f} \cdot d{\bf r} = \phi(Q) - \phi(P) }$

実はこれに対応する定理が微分形式の世界にも存在する。例によって「多様体の基礎」を見てみると、以下のように記載されている。

$\omega$ が閉じた1次微分形式( $d\omega = 0$ )ならば、曲線cをその始点c(a)と終点c(b)を止めたまま多様体Mの中で連続変形しても、線積分 $\int_c \omega$ の値は変らない。

ここで、閉じた微分形式、または閉形式とは、外微分を計算すると0になるような微分形式のことである。前回の記事でgradは0次微分形式、つまり関数に対する外微分に相当するということを述べた。さらに、外微分の外微分を計算すると常に0になることから、 ${\bf f} = \mathrm{grad} \phi$ は閉形式である。結果として、ポテンシャル場における線積分は閉形式の線積分によって一般化されるのである。本当に微分形式さえあればベクトル解析は不要なのではないかと思うほど、微分形式はベクトル解析をうまく取り込んでいる。

今日一番言いたかったことは以上であるが、上で引用した定理について一点だけ補足する。この定理では多様体M上での線積分について述べているわけだが、そもそも多様体上での線積分とはどのように定義されるのであろうか?これは $\mathbb{R}$ に対する引き戻しによって定義される。すなわち、ある写像 $c: \mathbb{R} \ni [a, b] \to M$ があって、これと閉形式 $\omega$ の合成写像の積分を考えるのである。以下に定義式を示す。

${ \displaystyle \int_c \omega \overset{\mathrm{def}}{=} \int_{[a, b]} \omega \circ c }$

これにより、被積分関数の定義域をMから $\mathbb{R}$ に引き戻すことができ、見事に線積分が定義できるのである。

さて、大晦日ということで今年一年を振り返ってみると、後半にこれまで学んできたことの復習に重点を置いたことで、より数学に対する深い理解が得られたのではないかと思う。特に、ガロア理論の基本的な部分に対して定性的な理解を得られたことは至上の喜びであった。来年は仕事がちょっと忙しくなりそうだが、うまく時間を見つけて数学の勉強を続けていきたい。では、良いお年を！

参考

多様体の基礎 (基礎数学5)

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li.nu

2016-12-29

スカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルと微分形式の外微分の関係

多様体

今日も微分形式について書きたいと思う。本当は線積分周りのことを書いて多様体の話は一旦終わろうと思ったのだが、それはまた後に回して、ここではベクトル解析の式がまたしても微分形式により一般化される別の事例について書きたいと思う。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルが満たす関係式

今日の主役ははベクトル解析で有名な以下の2つの式である。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && \mathrm{rot}\, \mathrm{grad}\, f = 0 \\ && \mathrm{div}\, \mathrm{rot}\, {\bf A} = 0 \end{eqnarray} }$

ここで、 $f$ はスカラー関数、 ${\bf A}$ はベクトルである。 $f, {\bf A}$ がこれらの式を満たすとき、それぞれスカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルと呼ばれる。詳細はベクトル解析の教科書等を参照して頂きたい。

外微分による表現

上で述べた関係式は、微分形式に対する外微分を用いて統一的に表すことができる。本稿ではそれについて説明する。しかし、残念ながら私はそれについて100%納得するところまで理解が進んでいない。以下では私が理解したこと、及び納得できていないことについて書き記す。

微分形式の双対構造

本題に入る前に、後で必要になる微分形式の双対構造について説明しておこう。

以下では3次までの微分形式に限定して話を進める。すると、全ての微分形式は以下に示すものの線形結合で表現できる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && 1 \\ && dx \\ && dy \\ && dz \\ && dx \land dy \\ && dy \land dz \\ && dz \land dx \\ && dx \land dy \land dz \end{eqnarray} }$

例として $dx \land dy$ に着目してみよう。これはdxとdyの外積になっているわけだが、3次以下の微分形式にはdx, dy, dzの3つの要素しか登場し得ないので、これは逆に言えばdzが欠けていると考えることができる。このように、上に示した微分形式は、お互いを補いあう関係にあるペアに分けることができる。以下にそれを示す。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} 1 &\leftrightarrow& dx \land dy \land dz \\ dx &\leftrightarrow& dy \land dz \\ dy &\leftrightarrow& dz \land dx \\ dz &\leftrightarrow& dx \land dy \end{eqnarray} }$ *1

すなわち、微分形式には相補的な双対構造が現れるのである。ある微分形式の双対を示す演算子を一般に*で示し、これをホッジのスター作用素と呼んだりする。以下にホッジのスター作用素の使用例を示す。

${ \displaystyle \ast dx = dy \land dz }$

また、以下の式が成立することにも言及しておこう。

${ \displaystyle \ast \ast dx = dx }$

外微分の外微分

最初に示した2つの式は、微分形式を用いて統一的に表すことができるわけだが、その時に使う式が以下である。

${ \displaystyle d(d\omega) = 0 }$

ここで、 $\omega$ は適当な微分形式である。すなわち、微分形式の外微分の外微分は必ず0になるのだ。ここで最初に示した2つの式を見ると、どちらも2回の演算の結果が0になっており、いかにもこの式と関係がありそうな予感がするだろう。

grad, rot, divと外微分の関係

ここから本題に入っていこう。まずは、grad, rot, divがそれぞれ微分形式の外微分とどのような関係にあるか考えてみる。

最初にgradについて考えよう。関数fについて、 $\mathrm{grad}\, f$ は以下のように書けるのであった。

${ \displaystyle \mathrm{grad}\, f = \frac{\partial f}{\partial x} {\bf e}_x + \frac{\partial f}{\partial y} {\bf e}_y + \frac{\partial f}{\partial z} {\bf e}_z }$

ここで、 ${\bf e}_x, {\bf e}_y, {\bf e}_z$ はそれぞれx, y, z方向の単位ベクトルである。

今、gradを外微分を用いて表すことを考えてみる。まず、0次微分形式fに対する外微分dfは以下のような1次微分形式になる。

${ \displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz }$

ここからがまさに私が納得できていないポイントであるが、上記2つの式において、大胆にも ${\bf e}_x, {\bf e}_y, {\bf e}_z$ をそれぞれdx, dy, dzと同一視すれば、 $\mathrm{grad}\, f = df$ となる。すなわち、 $\mathrm{grad} = d$ である。被演算子は0次微分形式である。この同一視の妥当性については後述する。

次にrotについて考える。これは以下のように表されるのであった。

${ \displaystyle \mathrm{rot}\, {\bf A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) {\bf e}_x + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) {\bf e}_y + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) {\bf e}_z }$

ここでは ${\bf A} = (A_x, A_y, A_z)$ という3次元ベクトルを用いた。ここでもgradと同じようにrotを外微分で表すことを考えてみよう。前回の記事で登場した以下の式が使えそうだ。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && d(A_x dx + A_y dy + A_z dz) \\ &=& dA_x \land dx + dA_y \land dy + dA_z \land dz \\ &=& \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right)dy \land dz + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right)dz \land dx + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)dx \land dy \end{eqnarray} }$

gradと同じ流れで行くと、ここで単位ベクトルとdx, dy, dzを同一視するところだが、今はこれらの外積である $dx \land dy$ などが現れてしまっている。そのため、このままでは先ほどのような同一視ができない。また、外積とは言うものの、これはベクトルの外積とは異なる演算であるため、そのような置き換えもできない。

そこで、ホッジのスター作用素の登場である。上記の式にホッジのスター作用素を適用すると以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && \ast d(A_x dx + A_y dy + A_z dz) \\ &=& \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right)dx + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right)dy + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)dz \end{eqnarray} }$

これで、最初のrotの式との対応が見えた。すなわち、 $\mathrm{rot}\, {\bf A} = \ast d {\bf A}$ であり、結局 $\mathrm{rot} = \ast d$ となる。被演算子は1次微分形式である。

最後にdivであるが、これは上の2つと同様に考えることができるため説明は割愛する。結論としては $\mathrm{div} = \ast d \ast$ となる。被演算子は1次微分形式である。

以上により、grad, rot, divをそれぞれ外微分とホッジのスター作用素で書き表すことができた。

得られる結果

これでやっと冒頭の2式と外微分との関係を見ることができる。まず、スカラーポテンシャルの方から見てみよう。

${ \displaystyle \mathrm{rot}\, \mathrm{grad}\, f = \ast d(df) = 0 }$ *2

ホッジのスター作用素が頭に付いてしまってはいるが、見事に微分形式の外微分によって表すことができた。

次はベクトルポテンシャルの式を見てみよう。これは以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{div}\, \mathrm{rot}\, {\bf A} &=& \ast d \ast (\ast d {\bf A}) \\ &=& \ast d(d {\bf A}) \\ &=& 0 \end{eqnarray} }$

これにより、両者を全く同じ式 $\ast d(d \omega) = 0$ という形で表すことができた。以上が本稿で述べたかった事実である。

なぜ単位ベクトルをdx, dy, dzと同一視してよいのか

本稿の説明においては、単位ベクトルとdx, dy, dzを同一視することで、ベクトルを微分形式で表現していた。これは妥当なのであろうか?本稿最下部に示した参考ページの冒頭において、それについて少し触れられている。すなわち、dx, dy, dzをベクトルに対する演算子として見ればよいというのである。例えば ${\bf p} = a{\bf e}_x + b{\bf e}_y + c{\bf e}_z$ というベクトルが与えられたとき、dxはこのベクトルのx軸方向の成分、すなわち単位ベクトル ${\bf e}_x$ の係数を取り出す演算子と考えるのである。以下に演算の様子を示す。

${ \displaystyle dx({\bf p}) = a }$

一方、このようにx方向の成分を取り出すには以下のようにしてもよい。

${ \displaystyle {\bf e}_x \cdot {\bf p} = a }$

この2つの式の類似性から、dxを ${\bf e}_x$ と同一視することを正当化しようというのである。

これは確かに最もらしい説明である。dxの元々の定義も $T_p(M) \to \mathbb{R}$ という線形写像であり、これを演算子と考えることは自然に思える。しかし、今はユークリッド空間を考えているので、接ベクトル空間の基底 $\left(\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)_p, \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)_p, \left(\frac{\partial}{\partial z}\right)_p \right)$ はそれぞれ ${\bf e}_x, {\bf e}_y, {\bf e}_z$ と同一視できる。これはつまり、接ベクトル空間と余接ベクトル空間の基底がどちらも同じだと言っているように聞こえる。これにはなんだか違和感を覚える。なぜなら、ベクトル空間とその双対空間はそもそも集合として全く異なるものだからだ。今回の話でここだけが唯一スッキリしないのである。

とは言え、概ね綺麗な結果を得ることができたという点には満足している。やはり微分形式から得られる帰結は美しい。疑問は残ったものの、それは長い人生の中できっと答えが見つかるだろう。

参考

http://mkdragon.la.coocan.jp/studies/relative/dform.pdf

*1:例えば $dx \land dy$ と $dy \land dx$ は符号が異なるので、本当は外積の順序について慎重に考える必要がある。

*2: $\ast 0 = 0$ としている。

2016-12-24

多様体上での積分と一般化されたストークスの定理

多様体

前回は微分形式について基礎知識を整理してみた。今回は微分形式の積分について考えてみたいと思う。

1次微分形式の積分

1次微分形式 $\omega = f(x)dx$ について、 $\mathbb{R}$ のある区間 $I = [a, b]$ での積分を以下のように定義する。

${ \displaystyle \int_I \omega \overset{\mathrm{def}}{=} \int_a^b f(x)dx }$

この積分値は $\mathbb{R}$ での座標の取り方に依らず決まるという重要な性質がある。つまり、変数変換をしても積分値は変わらないということである。ただし、積分する向きを逆にすると、符号が逆転してしまう。これらの事実は高校の数学で習うレベルであるが、高次の微分形式にも拡張される重要な性質であるため、ここで明示的に述べておく。

m次微分形式の積分

正方形領域に収まる場合

多様体Mの次元がmであるとする。このとき、m次微分形式 $\omega$ の積分について考えてみる*1。 $\omega$ の値が0でないM上の領域の閉包を取ったものを $\omega$ の台と呼び、これを $\mathrm{supp}(\omega)$ と書く。台の外では $\omega = 0$ となるため、台が正方形領域と呼ばれる単純な領域に入っていれば、これは簡単に積分できる。正方形領域とは、参考書*2によれば、Mの座標近傍 $(U; x_1, \cdots, x_m)$ について、以下のように表すことができる領域Vのことである。

${ \displaystyle V = \{(x_1, \cdots, x_m) \in U | -a < x_i < a, i=1, \cdots, m\} }$ *3

このとき、Uにおいて $\omega = f(x_1, \cdots, x_m)dx_1 \land \cdots \land dx_m$ と表すことができるので、積分は以下のように定義できる。

${ \displaystyle \int_M \omega \overset{\mathrm{def}}{=} \int_{-a}^a \cdots \int_{-a}^a f(x_1, \cdots, x_m)dx_1 \cdots dx_m }$

要するに、交代k次形式の記号 $\land$ がなくなり、通常の重積分として定義される。

積分値はここでも正方形領域の取り方に依らずに決まる。しかし、1次微分形式のときと同じように、領域の「向き」によって符号が変わる。領域の向きというのは相対的な概念であるため、2つの領域に対して向きが同じだとか違うとかいう議論をすることになる。参考書では以下のように向きが定義されている。

2つの座標近傍 $(U; x_1, \cdots, x_m)$ と $(U'; y_1, \cdots, y_m)$ が空でない共通部分をもつとする。共通部分 $U \cap U'$ の各点で $\frac{\partial(y_1, \cdots, y_m)}{\partial(x_1, \cdots, x_m)}>0$ がなりたつとき、 $(U; x_1, \cdots, x_m)$ と $(U'; y_1, \cdots, y_m)$ は同じ向きであるという。

正方形領域に収まらない場合

上で考えたケースを拡張して、 $\mathrm{supp}(\omega)$ が正方形領域に収まらない場合を考える。ここで、Mを「向き付けられた」コンパクトな多様体であるとする。多様体の中には、座標近傍系をうまく選ぶことで全ての座標近傍を同じ向きにすることができるものがある。このとき、その多様体を向き付け可能であるといい、向きを与えられた多様体を向き付けられた多様体と呼ぶ。コンパクト性の仮定はひょっとしたら厳しすぎるかもしれないが、その方が話が簡単になるので、ここでは参考書に合わせてコンパクトであると仮定しておく。

Mはコンパクトであるため、有限個の正方形領域 $\{V_1, V_2, \cdots, V_s\}$ によって被覆される*4。このとき、 $V_i$ に対応して $f_i$ という関数をうまく選べば、m次微分形式 $\omega$ の積分は以下のように定義できる。

${ \displaystyle \int_M \omega \overset{\mathrm{def}}{=} \sum^s_{i=1} \int_M f_i \omega }$

実は、 $f_i$ は多様体界隈で「1の分割」と呼ばれる関数である。1の分割とは、ざっくり言うと以下を満たすような関数の集合である。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\mathrm{i}) && 0 \le f_i \le 1 \\ (\mathrm{ii}) && \mathrm{supp}(f_i) \subset V_i \\ (\mathrm{iii}) && \sum^s_{i=1} f_i = 1 \end{eqnarray} }$

要するに、各正方形領域上での積分を多様体全体でうまく繋げられるように、係数を調整しているのである。

このように定義される積分は、多様体Mと $\omega$ だけで決まり、有限被覆 $\{V_1, V_2, \cdots, V_s\}$ や1の分割のとり方に依存しないという素晴らしい性質を持っている。

一般化されたストークスの定理

やっとこの話が書ける。ここまで長かった。

ストークスの定理という言葉は、ベクトル解析を学んだことがある人なら誰しも知っているだろう。また、似たような定理として、ガウスの発散定理なんてのもあったはずだ。これら2つの定理はどことなく雰囲気が似ている。どちらもある領域の積分が、その領域の境界の積分に置き換えられるというものである。これを多様体上で統一的にまとめたのが一般化されたストークスの定理である。これを使えば、ベクトル解析でのストークスの定理、及びガウスの発散定理を同じように扱うことができる。

細かい議論は置いておいて、まずは一般化されたストークスの定理の定義を以下に示す。

M上の任意の(m-1)次微分形式 $\eta$ について、次の等式がなりたつ。
${ \displaystyle \int_N d\eta = \int_{\partial N} \eta }$
ここで、Nは向き付けられた多様体Mの「境界を持つ」部分多様体であり、かつコンパクトであるとする。

「境界を持つ多様体」とは、ざっくり言うとm次元多様体Mの中で、互いに交わらないいくつかの(m-1)次元多様体で区切られた部分のことである。また、その区切りを成す(m-1)次元多様体の和集合を境界と呼ぶ。3次元ユークリッド空間上の単位球を例に考えると、3次元空間における2次元部分多様体である単位球面によって区切られた球の内部が「境界を持つ多様体」であり、単位球面そのもののことを境界と呼ぶのである。

つまり、一般化されたストークスの定理とは、ある領域の境界上における(m-1)次微分形式の積分が、その微分形式の外微分を取ったものを領域全体で積分したものと等しいと言っているのである。

ベクトル解析におけるストークスの定理との比較

では、ベクトル解析におけるストークスの定理と比較してみよう。Sを積分領域となる2次元曲面、 $\partial S$ をその境界とすると、ストークスの定理とは以下の等式が成り立つことを主張するものであった。

${ \displaystyle \int \int_S \mathrm{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \oint_{\partial S} {\bf F} \cdot d{\bf r} }$

ここで、もし $d({\bf F} \cdot d{\bf r}) = \mathrm{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S}$ が示せれば、これは確かに一般化されたストークスの定理で表すことができることになる。

${\bf F} = (F_x, F_y, F_z), d{\bf r} = (dx, dy, dz)$ として右辺の積分の中身の内積を計算すると、以下のようになる。

${ \displaystyle {\bf F} \cdot d{\bf r} = (F_x, F_y, F_z) \cdot (dx, dy, dz) = F_x dx + F_y dy + F_z dz }$

よって右辺は1次微分形式となっている。さらに、これの外微分を計算すると以下のようになる。

${ \displaystyle d(F_x dx + F_y dy + F_z dz) = dF_x \land dx + dF_y \land dy + dF_z \land dz }$

$dF_x$ は通常の微分積分学における全微分に一致し、以下のように書ける。

${ \displaystyle dF_x = \frac{\partial F_x}{\partial x}dx + \frac{\partial F_x}{\partial y}dy + \frac{\partial F_x}{\partial z}dz }$

$F_y, F_z$ も同様である。これを利用すると、結局以下のように計算できる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && dF_x \land dx + dF_y \land dy + dF_z \land dz \\ &=& \left(\frac{\partial F_x}{\partial x}dx + \frac{\partial F_x}{\partial y}dy + \frac{\partial F_x}{\partial z}dz \right) \land dx \\ && + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x}dx + \frac{\partial F_y}{\partial y}dy + \frac{\partial F_y}{\partial z}dz \right) \land dy \\ && + \left(\frac{\partial F_z}{\partial x}dx + \frac{\partial F_z}{\partial y}dy + \frac{\partial F_z}{\partial z}dz \right) \land dz \\ &=& \frac{\partial F_x}{\partial y}dy \land dx + \frac{\partial F_x}{\partial z}dz \land dx \\ && + \frac{\partial F_y}{\partial x}dx \land dy + \frac{\partial F_y}{\partial z}dz \land dy \\ && + \frac{\partial F_z}{\partial x}dx \land dz + \frac{\partial F_z}{\partial y}dy \land dz \\ &=& \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)dy \land dz + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)dz \land dx + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)dx \land dy \end{eqnarray} }$

美しい対称形の2次微分形式が得られた。

次に、左辺の積分の中身について考えてみる。まずrotの部分について以下のように計算できる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{rot}{\bf F} &=& \nabla \times {\bf F} \\ &=& \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \end{eqnarray} }$

次に、面積素 $d{\bf S}$ について考える。詳細は割愛するが(追記1参照)、S上に(u, v)という2次元の座標を考えることで、これは以下のように変形できる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} d{\bf S} &=& \left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}dudv, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}dudv, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}dudv \right) \\ &=& (dy \land dz, dz \land dx, dx \land dy) \end{eqnarray} }$

よって両者の内積を計算すれば、 $d({\bf F} \cdot d{\bf r}) = \mathrm{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S}$ が成立することが分かる。以上により、ベクトル解析におけるストークスの定理は、多様体上での一般化されたストークスの定理に含まれることが分かった。

ガウスの発散定理との比較

同じことをガウスの発散定理でもやってみよう。定理の主張を以下に示す。

${ \displaystyle \int \int \int_V \mathrm{div} {\bf F} dV = \int \int_{S} {\bf F} \cdot d{\bf S} }$

先ほどと同様に、 $d({\bf F} \cdot d{\bf S}) = \mathrm{div} {\bf F} dV$ が示せればよい。

右辺の積分の中身は以下のようになる。

${ \displaystyle {\bf F} \cdot d{\bf S} = F_x dy \land dz + F_y dz \land dx + F_z dx \land dy }$

これの外微分を計算すると以下のようになる。

${ \displaystyle d(F_x dy \land dz + F_y dz \land dx + F_z dx \land dy) = \left(\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \right) dx \land dy \land dz }$

途中計算は面倒なので割愛した。右辺についても、ストークスの定理の場合と同じように計算することで、結局 $d({\bf F} \cdot d{\bf S}) = \mathrm{div} {\bf F} dV$ であることが示せる*5。よって、ガウスの発散定理も一般化されたストークスの定理に含まれる。

まとめ

今回は多様体上での積分と、そこで成立する一般化されたストークスの定理について述べた。多様体上での積分についてはまだ面白い話があるが、それはまた次回に回そう。

追記1

実は本稿を書いた時点では、なぜ面積素が微分形式で書き表されるのかよく分かっていなかった。これに関して少しだけ理解を得たので書いてみようと思う。

まず、面積素は以下のように定義される。

${ \displaystyle d{\bf S} = \left(\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} \right) dudv = \left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}dudv, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}dudv, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}dudv \right) }$

一方、k次微分形式の定義式から、ベクトル ${\bf p} = a{\bf e}_x + b{\bf e}_y + c{\bf e}_z$ , ${\bf q} = i{\bf e}_x + j{\bf e}_y + k{\bf e}_z$ に対して以下のような計算ができる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && dx \land dy ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} dx({\bf p}) & dx({\bf q}) \\ dy({\bf p}) & dy({\bf q}) \end{array} \right) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} a & i \\ b & j \end{array} \right) \\ && dy \land dz ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} dy({\bf p}) & dy({\bf q}) \\ dz({\bf p}) & dz({\bf q}) \end{array} \right) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} b & j \\ c & k \end{array} \right) \\ && dz \land dx ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} dz({\bf p}) & dz({\bf q}) \\ dx({\bf p}) & dx({\bf q}) \end{array} \right) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} c & k \\ a & i \end{array} \right) \end{eqnarray} }$

ここで、ベクトル ${\bf p}, {\bf q}$ を以下のように定めてみる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf p} &=& \left(\frac{\partial x}{\partial u}du, \frac{\partial y}{\partial u}du, \frac{\partial z}{\partial u}du \right) \\ {\bf q} &=& \left(\frac{\partial x}{\partial v}dv, \frac{\partial y}{\partial v}dv, \frac{\partial z}{\partial v}dv \right) \end{eqnarray} }$

すると、上述の式は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} && dx \land dy ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}du & \frac{\partial x}{\partial v}dv \\ \frac{\partial y}{\partial u}du & \frac{\partial y}{\partial v}dv \end{array} \right) = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}dudv \\ && dy \land dz ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial y}{\partial u}du & \frac{\partial y}{\partial v}dv \\ \frac{\partial z}{\partial u}du & \frac{\partial z}{\partial v}dv \end{array} \right) = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}dudv \\ && dz \land dx ({\bf p}, {\bf q}) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial z}{\partial u}du & \frac{\partial z}{\partial v}dv \\ \frac{\partial x}{\partial u}du & \frac{\partial x}{\partial v}dv \end{array} \right) = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}dudv \\ \end{eqnarray} }$

上記3式の最後の式変形は、行列式の多重線形性による。

以上により、面積素は以下のようになる。

${ \displaystyle d{\bf S} = (dy \land dz({\bf p}, {\bf q}), dz \land dx({\bf p}, {\bf q}), dx \land dy({\bf p}, {\bf q})) }$

あとは $({\bf p}, {\bf q})$ の部分は暗黙的に付加されるものと考えて省略すれば、本文中の式が得られる。

参考

多様体の基礎 (基礎数学5)

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微分形式 - [物理のかぎしっぽ]
ストークスの定理

*1:mより小さい次元での積分も、包含写像による部分多様体への引き戻しを駆使すれば定義することができる。

*2:「多様体の基礎」のことを指す。

*3:参考書にはiの値は1からkまでと書かれているが、恐らく間違いだと思われる。

*4:コンパクトなので、無限被覆であろうとなんであろうと、正方形領域によって被覆することさえできれば、そこから有限個の被覆を選ぶことができる。しかし、たとえ無限被覆であろうと、任意のコンパクトな多様体を正方形領域だけで被覆できるという事実は、そんなに自明なのであろうか？

*5:一日中計算式を追っていて疲れてしまったorz

2016-12-24

多様体上の微分形式の基礎知識

多様体

最近「多様体の基礎」という本を読んだ。実は今回が2回目のチャンレジで、前回は5章のベクトル場のあたりで打ちのめされてしまったのだが、今回は何とか強引に最後まで読み進めることができた。が、知識の定着度はお察しの通り、いまいちである。特に、微分形式に関する事項があまり理解できていないように感じている。そこで、今回は微分形式の知識を簡単にまとめてみたいと思う。

1次微分形式

まず出発点はここからだ。1次微分形式とはなんだろう?「多様体の基礎」（以下、参考書と呼ぶ）によると、以下のような定義がなされている*1。

m次元 $C^{\infty}$ 級多様体Mの各点pに、余接ベクトル空間 $T_{p}^{\ast} (M)$ の元 $\omega_p$ をひとつずつ対応させる対応 $\omega = \{\omega_p\}_{p \in M}$ のことを、M上の1次微分形式とよぶ。

上の定義における余接ベクトル空間とは、M上のベクトル空間 $T_p(M)$ の双対ベクトル空間のことである。参考書を少し戻って説明を見てみると、一般にベクトル空間V上の1次形式全体のなす集合 $V^{\ast}$ を双対ベクトル空間と呼ぶようである。ここで、1次微分形式と似た言葉で1次形式というものが出てくる。参考書によると、1次形式は以下のように定義される。

Vを $\mathbb{R}$ 上のm次元ベクトル空間とする。V上の1次形式とは、Vから $\mathbb{R}$ への写像
${ \displaystyle \omega : V \to \mathbb{R} }$
であって、任意のベクトル $X, Y \in V$ と任意の実数 $a, b \in \mathbb{R}$ について
${ \displaystyle \omega(aX + bY) = a\omega(X) + b\omega(Y) }$
がなりたつようなものをいう。

要するに、1次形式とは線形写像の一種である*2。ベクトル空間上の1次形式全体の成す空間は再びベクトル空間になっており、これを双対ベクトル空間と呼ぶ。ベクトル空間として多様体の接ベクトル空間を考えたとき、その双対のことを余接ベクトル空間と呼ぶ。そして、余接ベクトル空間の元を多様体上の各点に割り当てていく対応のことを1次微分形式と呼ぶのである。つまり、1次微分形式とは多様体上の余接ベクトル場であると言える。

余接ベクトル空間はベクトル空間なので、当然その基底が何かということが気になる。これの導出は私の手に追えないので参考書を見てもらうとして、結果だけ書いてみる。Mのある座標近傍 $(U; x_1, \cdots, x_m)$ に着目したとき、基底は $(dx_1)_p, (dx_2)_p, \cdots, (dx_m)_p$ となる。そのため、一般に1次微分形式 $\omega$ は以下のように表すことができる。

${ \displaystyle \omega = f_1 dx_1 + f_2 dx_2 + \cdots + f_m dx_m }$

ここで、 $f_1, f_2, \cdots, f_m$ はU上の関数である。

k次微分形式

k次微分形式を定義するためには、1次微分形式の場合と同じように、まずk次形式というものを考える必要がある。k次形式の定義を参考書から引用したものを以下に示す。

Vを $\mathbb{R}$ 上のm次元ベクトル空間とする。V上のk次形式とは、Vのk個の直積から $\mathbb{R}$ への写像
${ \displaystyle \omega: V \times V \times \cdots \times V \to \mathbb{R} }$
であって、 $\omega(X_1, X_2, \cdots, X_k)$ が各 $X_i$ に関して線形であるようなものを言う。

つまり、各kについて以下のような等式が成り立つということである。
${ \displaystyle \omega(aX + bY, X_2, \cdots, X_k) = a(X, X_2, \cdots, X_k) + b(Y, X_2, \cdots, X_k) }$

1次形式の時と同じように、V上のk次形式全体のなす集合というものを考えることができて、これを $\bigotimes^{k} V^{\ast}$ と書く。

V上のk個の1次形式 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k \in V^{\ast}$ について、以下の写像はk次形式となる。

${ \displaystyle (\eta_1 \otimes \eta_2 \otimes \cdots \otimes \eta_k)(X_1, X_2, \cdots, X_k) = \eta_1(X_1)\eta_2(X_2) \cdots \eta_k(X_k) }$

また、上記の写像を $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k$ のテンソル積と呼ぶ。

ここまで来ると、1次微分形式のときと同じように、Vとして多様体Mの接ベクトル空間を考えればよいと思うだろう。しかし、実はそのようにして得られる概念はk次共変テンソル場と呼ばれ、k次微分形式ではない。まず、k次共変テンソル場の定義を以下に示す。

Mの各点pに、 $\bigotimes^{k}T_p^{\ast}(M)$ の元 $\omega_p$ をひとつずつ対応させる対応 $\omega = \{\omega_p\}_{p \in M}$ のことを、M上のk次共変テンソル場とよぶ。

今知りたいのはk次微分形式についてであるが、実はk次微分形式はk次共変テンソル場の一種である。すなわち、k次微分形式とは、k次共変テンソル場に交代性と呼ばれる性質が課されたもののことである。これをk次交代テンソル場とも呼ぶ。

k次交代テンソル場(すなわち、k次微分形式)の説明のために、まずは $\mathbb{R}$ 上のm次元ベクトル空間Vにおける交代k次形式について述べる。V上のk次形式 $\omega$ が交代k次形式であるとは、任意の $X_1, X_2, \cdots, X_k \in V$ と任意の置換 $\sigma \in S_k$ ( $S_k$ はk次対称群)について以下が成り立つことである。

${ \displaystyle \omega(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \cdots, X_{\sigma(k)} = \epsilon(\sigma)\omega(X_1, X_2, \cdots, X_k) }$

ここで、 $\epsilon(\sigma)$ は $\sigma$ が遇置換なら1、奇置換なら-1となる写像である。要するに、 $X_1, X_2, \cdots, X_k$ のうち任意の2つを入れ替えると符号が入れ替わるようなk次形式のことを交代k次形式と呼ぶのである。V上の交代k次形式全体の集合を $\bigwedge^{k} V^{\ast}$ と書く。一般に、V上のk次交代形式は、k個の1次形式 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k \in V^{\ast}$ を用いて以下のように書くことができる。

${ \displaystyle \eta_1 \land \eta_2 \land \cdots \land \eta_k(X_1, X_2, \cdots, X_k) = \mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} \eta_1(X_1) & \eta_1(X_2) & \cdots & \eta_1(X_k) \\ \eta_2(X_1) & \eta_2(X_2) & \cdots & \eta_2(X_k) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \eta_k(X_1) & \eta_k(X_2) & \cdots & \eta_k(X_k) \end{array} \right) }$

線形代数を学んだことがある人であれば、行列式の持つ多重線形性がいかにも交代k次形式っぽい感じが分かるだろう。

これでやっとk次微分形式の定義を説明できる。k次微分形式の定義を参考書より引用する。

$C^{\infty}$ 級多様体M上のテンソル場 $\omega = \{\omega_p\}_{p \in M}$ がk次微分形式であるとは、Mの各点pにおいて、 $\omega_p$ が $T_p(M)$ 上の交代k次形式になっていることである。

1次微分形式の類推から、k次微分形式における基底のようなものを考えてみる*3。Mの座標近傍として再び $(U; x_1, \cdots, x_m)$ を考えると、k次微分形式はU上で以下のように表すことができる。

${ \displaystyle \omega = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} dx_{i_1} \land dx_{i_2} \land \cdots \land dx_{i_k} }$

すなわち、基底(のようなもの)は $dx_{i_1} \land dx_{i_2} \land \cdots \land dx_{i_k} (i_1 < i_2 < \cdots < i_k)$ を満たすk次微分形式の集合である。例として2次微分形式を考えてみる。Mが3次元の場合、任意の2次微分形式 $\omega$ は以下の形に表すことができる。

${ \displaystyle \omega = a_{12}dx_1 \land dx_2 + a_{13} dx_1 \land dx_3 + a_{23} dx_2 \land dx_3 }$

さて、のちのち必要になるので、k次微分形式どうしの演算について述べておく。k次微分形式とl次微分形式の間には外積と呼ばれる演算が定義できる。この演算により、(k+l)次微分形式が得られる。ベクトル空間の場合、そこに属する元の間の演算で次元は変化しないが、テンソルの場合は演算により次元が上がっていくのが特徴的である。

外積には座標近傍に依存しない定義の仕方も存在するようだが、面倒なのでそれには触れない。ここでは簡単な計算例を述べておくに留める。1次微分形式 $\omega = a dx_1 + b dx_2$ と2次微分形式 $\eta = f dx_1 \land dx_2 + g dx_1 \land dx_3$ の外積は以下のように計算できる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \omega \land \eta &=& (a dx_1 + b dx_2) \land (f dx_1 \land dx_2 + g dx_1 \land dx_3) \\ &=& af dx_1 \land dx_1 \land dx_2 + ag dx_1 \land dx_1 \land dx_3 + bf dx_2 \land dx_1 \land dx_2 + bg dx_2 \land dx_1 \land dx_3 \\ &=& bg dx_2 \land dx_1 \land dx_3 \\ &=& -bg dx_1 \land dx_2 \land dx_3 \end{eqnarray} }$

上記の計算では、 $dx_i \land dx_i = 0$ という性質を用いた。また、最後の式変形では置換により符号が変化するという性質を用いた。これを見れば、外積の演算規則のイメージが湧くだろう。

外微分

k次微分形式に対して、更に外微分と呼ばれる概念を定義できる。多様体Mと座標近傍Uをこれまで通りとし、k次微分形式 $\omega$ がU上で以下のように書けたとする。

${ \displaystyle \omega = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} f_{i_1 i_2 \cdots i_k} dx_{i_1} \land dx_{i_2} \land \cdots \land dx_{i_k} }$

参考書によると、このとき外微分とは以下の式で表されるk+1次微分形式のことである。

${ \displaystyle d\omega = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} df_{i_1 i_2 \cdots i_k} \land dx_{i_1} \land dx_{i_2} \land \cdots \land dx_{i_k} }$

上記の式は座標近傍Uにおいて成立する式であるが、実は外微分は座標近傍に依らずに定義することが可能であり、結局どの座標近傍で計算しても同じ値になる。すなわち、k次微分形式が与えられれば、その外微分としてのk+1次微分形式が一意に定まるのである。座標近傍に依存しない性質というのは、多様体の本質的な性質であるため、重要である。

外微分の形式をみると、これまでの議論が一体なんのために行われてきたのかが推測できる。そう、全ては積分を行うためである。多様体上での微分形式にはなんと積分を定義することができるのである。

本当はこの先の積分に関する議論を記事にしたかったのだが、自分の知識がまだまだ浅く、前置きが長くなりすぎた。本稿は一旦ここで終えることとし、近日中に続きを書きたいと思う。

参考

多様体の基礎 (基礎数学5)

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*1:記号の意味などは私が少し補足した。

*2:一般の線形写像の場合、写像の行き先の空間もベクトル空間となる。

*3:テンソル場にも公的に基底と呼ばれる概念があるのかは調べていない。