有限体のことを分かったつもりでいました 有限体には位数が素数のものとそうでないもの、つまり位数が素数冪となるものがある。前者は素数を用いてを考えればよいので簡単だが、後者はちょっとだけややこしい。とは言っても、位数がなら適当に上の次既約多項…
たまには技術っぽい話をしよう いつもは数学のことばかり書いているのだが、私の本業はストレージエンジニアである。ストレージエンジニアってなんだ？と聞かれると私も良く分からないが、そう名乗ることにしている。そんなわけで、たまにはストレージ関連技…
前回の記事では素数（正確にはから生成される素イデアル）が二次体の整数環でさらに分解するかどうかは、適当な自然数に対しての値を調べることで分かるという話をした。しかし、をどうやって決めればよいのか、また具体的にの値が何だったら分解するのかと…
整数論に再チャレンジ中 ここのところ整数論の勉強に再チャレンジしている。自分のXでの投稿を見返すと、どうやら2016年から2017年頃に一度整数論の勉強をしようとしていたようだ。しかし、当時は整数論のあまりの難しさに途中で諦めてしまった。時は流れて2…
前回の記事に続いて本稿でも確率論の話題を取り上げる。前回、連続確率測度についてラドン・ニコディムの定理を適用する例を示すことができなかった。今回はそれがなぜ難しかったのか？というところから始めて、ラドン・ニコディムの定理がうまく使えるケー…
測度論的確率論を勉強しようと思ったら5年くらい経っていた 何年か前に測度論的確率論の本[1]を買った。これは大変面白い本で、通勤途中の電車で楽しく読んでいたものだ。ところが、その後コロナ禍に見舞われて在宅勤務が基本となり、めっきり本を読む時間が…
前回の記事では有限幾何学で扱う重要な空間の一つである有限アフィン空間について説明した。本稿ではもう一つの重要な空間である有限射影空間について説明する。 射影空間 射影空間の定義をWikipedia[1]より引用する。 射影空間 を体とする。 上の次元の射影…
近況：心境の変化 転職をしてから2年半が過ぎ、近頃は以前と比べるとずっと平穏な日々を送ることができている。それと引き換えに求められる技術レベルが高まったため、業務に関連する勉強に割く時間も少なくない。もちろん、好きで今の仕事をしているので勉…
有限体を生成する既約多項式の選択 前回の記事では有限体の代数的閉包について調べた。その際、有限体の間の包含関係には、包含のさせ方が一意に定まらないという問題があることを述べた。その具体例としてという単射が一意に定まらないということを確かめた…
はじめに 有限体の代数的閉包ってどうなるんだろう？ずっと前にこの疑問を抱いてからずいぶんと時間が経ってしまった。どうにも最近は子どもとマイクラする時間が長すぎて趣味の時間が取りづらい。子どもが大きくなればそのうち親離れしてくのだろうか。今は…
近況 久々のブログとなってしまった。最近は本職関連の勉強が忙しく、なかなか数学に手がつかなかった。転職してから1年が経過したが、現職は勉強したことがかなり業務に活かせる環境なので、勉強意欲が溢れて時間が足りない状況が続いていた。今年はなんと…
ここまで長らく有限体上の線形空間について考えてきた。本稿ではそのフィナーレとして、有限体上の線形空間の双対空間について考えてみる。 線形空間の双対空間 双対空間の定義をWikipedia[1]より引用する。 双対空間 体上の任意のベクトル空間の（代数的）…
前回の記事では有限体上の線形空間における直交補空間について考えた。本稿ではその続きとして固有値と固有ベクトルについて考えてみる。 固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトルの定義を本[1]より引用する。 固有値と固有ベクトル を上の線型空間, をの…
前回の記事で有限体上の線形空間の定義の妥当性などを確認した。本稿ではその続きとして直交補空間について考えてみる。なお、本稿で扱う線形空間は特に断らない限り有限次元であるとする。 ベクトルの直交性 直交補空間とは、平たく言えばある部分空間に属…
前回の記事から随分と間が空いてしまったが*1、本稿では有限体上の線形空間について考えてみたいと思う。単に線形空間とだけ言うと対象が広大になり過ぎるため、本稿では次元定理が成り立つことを確かめるところまでをスコープにする。そのために、まずは線…
前回と前々回の記事では有限体の元を成分に持つ数ベクトルについて調べた。本稿ではその続きとして、有限体の元を成分に持つ行列について考えてみたいと思う。 確かめたいこと あまり網羅的なアプローチではないが、さしあたり有限体の元を成分に持つ行列に…
前回の記事で有限体の元を成分に持つ数ベクトルについて考えた。本当は次は行列についての記事を書こうと思ったのだが、そちらを書いている最中に数ベクトルの一次独立性について疑問点が生じてきたので、本稿ではそれについて考えてみる。 正標数はつらいよ…
有限体上での線形代数はどうなるのか？ 以前の記事で有限射影幾何というものを少し扱った。その中で、そもそもそんな難しいことをやる以前の問題として、有限体上の線形代数が分かっていないことが致命的に厳しいと感じた。例えば、や上での線形代数でよく使…
C言語のpopen関数の挙動にいつも混乱させられるので、自分用メモとして挙動をまとめてみる。 popen関数の挙動 popen関数はファイルを開くようなノリでプロセスをopenできる。popenの戻り値としてファイルディスクリプタが返ってくるので、それを使ってopenし…
久々に数学とは関係ない記事を書いてみる。最近、「レガシーコード改善ガイド」という本を読んでいる。概要としては、「レガシーコードとはユニットテストが存在しないコードのことである」という独自の哲学の元、レガシーコードをいかにして改善するかとい…
前回の記事で有限射影空間の理論を用いた行列の構築について説明した。本稿では前回説明した手法で正しく直交表が構築できることを証明し、実際に直交表を構築するプログラム例を示したいと思う。 有限射影幾何を用いた直交表構築手法の証明 おさらい を因子…
前回の記事ではMOLSを用いた直交表の構築方法について説明した。この方法では構築できる直交表のパターンに限界があるため、他のより優れた方法について調べてみた。直交表の構築方法にはいろいろあるようだが、本稿では私が特に数学的に面白そうだと感じた…
前回の記事ではmutually orthogonal Latin squares (MOLS) というテーブル群を構築する方法について説明した。本稿ではMOLSを用いて直交表を構築する方法について説明する。 直交表の構築 基本の構築方法 を素数、を1以上の整数、とする。このとき、MOLS()か…
世の中には実験計画法というものがある。実験計画法そのものに対して私は特段知見があるわけではないが、これがソフトウェア等のテストパターンを効率的に削減するのに役立つということは以前からなんとなく知っていた。考え方としては、全部のテスト条件の…
統計検定2級に合格しました 最近、統計検定2級に合格した。素直に嬉しい。2級は大学教養レベルの内容ではあるが、それらを良く理解していないと合格できないので、良い勉強になった。余談だが、以下のサイトは2級合格に必要な情報が網羅されており、大変参考…
以前、クーポンコレクター問題の確率分布について調べたことがある (詳細はこちら) 。これはこれで大きな成果だったのだが、いざこれを実用しようと思うと、少々物足りないことに気づいた。例えば、6種類のクーポンを全て集めることを考える。以前求めた確率…
前回の記事では、測度論の一般的な事柄について理解を深めた。本稿ではルベーグ測度に焦点を当てて、理解を深めていきたいと思う。 外測度と内測度 ルベーグ測度とは面積や体積を一般化したような量、いわば集合のサイズを計るための道具である。ルベーグ測…
私が初めて測度論を勉強したとき、それはルベーグ積分の準備として勉強したのだが、なんだか良く理解出来なかった覚えがある。測度論がやろうとしていることはなんとなく分かる。一番最初のモチベーションは、やはり面積や体積のような概念を数学的に厳密に…
数学の勉強に行き詰まったので、プログラミング関連で思い付いた小ネタについて書いてみる。C言語でプログラミングをしたことがあれば、符号付き整数というものは扱ったことがあるだろう。例えばint型の変数とか、そういうものである。符号付き整数では負の…
前回に続き本稿でも代数幾何学について考えてみる。今回のテーマはZariski位相である。代数幾何学と言えば必ずと言って良いほどZariski位相が登場する。Zariski位相は多項式の集合の共通零点によって定められ、確かに代数多様体に入れる位相として相応しいよ…
