有限体を生成する既約多項式の選択 前回の記事では有限体の代数的閉包について調べた。その際、有限体の間の包含関係には、包含のさせ方が一意に定まらないという問題があることを述べた。その具体例としてという単射が一意に定まらないということを確かめた…

はじめに 有限体の代数的閉包ってどうなるんだろう？ずっと前にこの疑問を抱いてからずいぶんと時間が経ってしまった。どうにも最近は子どもとマイクラする時間が長すぎて趣味の時間が取りづらい。子どもが大きくなればそのうち親離れしてくのだろうか。今は…

ここまで長らく有限体上の線形空間について考えてきた。本稿ではそのフィナーレとして、有限体上の線形空間の双対空間について考えてみる。 線形空間の双対空間 双対空間の定義をWikipedia[1]より引用する。 双対空間 体上の任意のベクトル空間の（代数的）…

前回の記事では有限体上の線形空間における直交補空間について考えた。本稿ではその続きとして固有値と固有ベクトルについて考えてみる。 固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトルの定義を本[1]より引用する。 固有値と固有ベクトル を上の線型空間, をの…

前回の記事で有限体上の線形空間の定義の妥当性などを確認した。本稿ではその続きとして直交補空間について考えてみる。なお、本稿で扱う線形空間は特に断らない限り有限次元であるとする。 ベクトルの直交性 直交補空間とは、平たく言えばある部分空間に属…

前回の記事から随分と間が空いてしまったが*1、本稿では有限体上の線形空間について考えてみたいと思う。単に線形空間とだけ言うと対象が広大になり過ぎるため、本稿では次元定理が成り立つことを確かめるところまでをスコープにする。そのために、まずは線…

前回と前々回の記事では有限体の元を成分に持つ数ベクトルについて調べた。本稿ではその続きとして、有限体の元を成分に持つ行列について考えてみたいと思う。 確かめたいこと あまり網羅的なアプローチではないが、さしあたり有限体の元を成分に持つ行列に…

前回の記事で有限体の元を成分に持つ数ベクトルについて考えた。本当は次は行列についての記事を書こうと思ったのだが、そちらを書いている最中に数ベクトルの一次独立性について疑問点が生じてきたので、本稿ではそれについて考えてみる。 正標数はつらいよ…

有限体上での線形代数はどうなるのか？ 以前の記事で有限射影幾何というものを少し扱った。その中で、そもそもそんな難しいことをやる以前の問題として、有限体上の線形代数が分かっていないことが致命的に厳しいと感じた。例えば、や上での線形代数でよく使…