今日も微分形式とベクトル解析について書く。テーマは経路に依らない線積分である。まず、ポテンシャル場における線積分について説明する。あるベクトル場において、経路Cに沿った線積分を行うことを考える。Cの始点は点P、終点は点Qであるとする。このとき…

今日も微分形式について書きたいと思う。本当は線積分周りのことを書いて多様体の話は一旦終わろうと思ったのだが、それはまた後に回して、ここではベクトル解析の式がまたしても微分形式により一般化される別の事例について書きたいと思う。 スカラーポテン…

前回は微分形式について基礎知識を整理してみた。今回は微分形式の積分について考えてみたいと思う。 1次微分形式の積分 1次微分形式について、のある区間での積分を以下のように定義する。 この積分値はでの座標の取り方に依らず決まるという重要な性質があ…

最近「多様体の基礎」という本を読んだ。実は今回が2回目のチャンレジで、前回は5章のベクトル場のあたりで打ちのめされてしまったのだが、今回は何とか強引に最後まで読み進めることができた。が、知識の定着度はお察しの通り、いまいちである。特に、微分…

群Gとその正規部分群Nがあるとする。Gから剰余群G/Nへの自然な準同型をとする。G/Nの部分群全体の集合を、GのNを含む部分群全体の集合をとする。このとき、写像は全単射となる。つまり、との元の間には一対一の対応関係がある。例によって細かい理屈はここで…

群論の有名な定理の1つに有限生成アーベル群の基本定理というものがある。これは、群Gが有限生成アーベル群であれば、Gは巡回群の直積に分解できるというものである。より具体的には以下の通りである。 群Gが有限生成アーベル群であれば、となるような自然数…

体の拡大L/Kが有限次分離拡大であるとき、この拡大は単拡大になることが知られている。私が使っている教科書にもこの定理は載っており、具体例としてが取り上げられていた。しかし、その説明が私にはエレンガント過ぎて、なんともピンとこなかった。私がとに…

代数学について勉強していると、具体的な群の構造やら何やらを知りたくなる時がある。しかし、それらを理論的に求めることができたとしても、実際に計算してみるのは大変骨の折れることだ。例えば、ある群の部分群を全て知りたいとか、ある多項式のガロア群…

Kを体とする。K上の多項式環K[x]に対して、]がK上既約であれば、剰余環は体となる。これは代数学における極めて有名な事実だ。このようになる教科書的な説明を述べると、K上既約な多項式から生成されるイデアルは極大イデアルであり、極大イデアルによる剰余…

情報を学んだ事のある人間であれば、ネットワークトポロジーという言葉を聞いた事があるだろう。これは、ネットワーク上でサーバやスイッチ等がどのように接続されているかを示す用語である。 また、トポロジーというのは数学の位相を意味するということは、…

少し前にやっとガロア理論を学ぶことができた。ガロア理論の核となるのはガロアの基本定理である。ざっくり説明すると、L/Kが体のガロア拡大であるとき、その中間体Mに対してガロア群Gal(L/K)の部分群の中に1対1に対応するものがあるという定理である。しか…

今日は久々にソフトウェアエンジニアとしてではなく、日曜数学者としての記事を書いてみる。実はここ数カ月、ずっと代数学の勉強をしている。代数学は以前雪江先生の本にチャンレンジして、見事に撃沈したので、今は２度目の挑戦中である。（懲りずにまた雪…

私は去年からモルモットを飼っている。毎週土曜日にケージ掃除し、その時に体重測定も行っている。体重というのはノイズが多い値である。体重測定の直前に餌をたくさん食べていれば大きめの値がでるし、逆に直前にフンをたくさんしていたりすると少なく出て…

自分が修士の学生でC++を書いていたとき、どうにも分からなかったことがある。それは、template関数のtemplate引数にstd::vectorなどのコンテナを指定し、関数内でそのコンテナに対してiteratorを回す方法である。当時の自分は以下のようなコードを書いてお…

C++11からrange based forという構文が導入された。これはpythonなどで言うところのforeach文と似たような動作をする構文である。以下に典型的な使用例を示す。 std::vector<int> vec(10); /* vecに何か値を設定 */ for(int el : vec) { /* Do something using "e</int>…

最近C++を書く機会が多いのだが、いかんせん自分の知識は2014年でぱったりと止まっている。しかも2014年当時、自分はまだまだ未熟で、C++11やらC++14なんかの機能についてはまったくの無知であった。そんなわけで、C++のモダンな機能を学びがてら、タイトル…