有限生成アーベル群の基本定理にまつわる考察

群論の有名な定理の1つに有限生成アーベル群の基本定理というものがある。これは、群Gが有限生成アーベル群であれば、Gは巡回群の直積に分解できるというものである。より具体的には以下の通りである。

群Gが有限生成アーベル群であれば、 $e_1 > 1, e_i | e_{i+1} \{i=1, 2, \cdots, s-1\}$ となるような自然数 $e_1, e_2, \cdots, e_s$ と非負整数rがあり、 $G \cong \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_s\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^r$ となる。

最初にこの定理を学んだときは、「そういう定理もあるのか」という程度で通りすぎてしまったのだが、代数学を一通り学んだ今になって、いくつか疑問が湧いてきた。それらは大別すると以下の2つに分けられる。

代数学に登場する類似の定理とはどのように関連しているのか？
この定理からどんなことが分かるのか？

本稿ではこの2つの疑問に対する答えについて、もがきながら足掻きながら必死に調べ、考え、理解を試みた末に、現段階までに知り得たことを書いてみる。

有限生成アーベル群の基本定理と仲間たち

有限生成アーベル群の基本定理と似たような定理として、私が関連がありそうだと思ったものを以下に挙げる。

中国式剰余定理（巡回群に関するもの）
中国式剰余定理（イデアルに関するもの）
有限アーベル群の基本定理
単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

上から順に関連について述べていき、最後に関係をまとめてみる。

中国式剰余定理（巡回群に関するもの）

巡回群に関する中国式剰余定理とは以下のような定理である。

m, nを互いに素な自然数とする。このとき、 $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ となる。

この定理が述べているのは、あくまで元々の群が巡回群の時に、それを互いに素な自然数に着目して分解できるというものである。一方、有限生成アーベル群の基本定理では、群が巡回群であることは一切仮定していない。にもかかわらず、それが実は巡回群の直積に分解できるというところがミソなのである。

なお、巡回群は有限生成アーベル群となるため、本定理は有限生成アーベル群の基本定理に含まれる。

中国式剰余定理（イデアルに関するもの）

同様の定理がイデアルについても成り立つことが知られている。詳細は述べないが、やはり有限生成アーベル群の基本定理よりは格下という印象である。

有限アーベル群の基本定理

この定理には最初とても混乱させられた。まず、この定理の主張は以下のようになる。

群Gが有限アーベル群であれば、 $e_1 > 1, e_i | e_{i+1} \{i=1, 2, \cdots, s-1\}$ となるような自然数 $e_1, e_2, \cdots, e_s$ があり、 $G \cong \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_s\mathbb{Z}$ となる。

なんだか有限生成アーベル群の基本定理と似ている。違いは $\mathbb{Z}^r$ の項がないことである。それもそのはずで、有限アーベル群であるということは当然有限生成アーベル群であることを意味するため、本定理は有限生成アーベル群の基本定理に含まれるものである。

単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

名前だけ見るとなんのことだかさっぱり分からない本定理は、実は有限生成アーベル群の基本定理を一般化したものである。本定理は単項イデアル整域上の有限生成加群に関するものであるが、有限生成アーベル群は $\mathbb{Z}$ 加群であり、かつ $\mathbb{Z}$ 加群として有限生成である。また、 $\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域であるため、有限生成アーベル群の基本定理が本定理に含まれることは納得できるだろう。詳細は適当な代数学の本を参照して欲しい。

第一の疑問に対する回答まとめ

以上で私の疑問はだいぶすっきりした。結局、以下のような図式が成り立っていたのだ。（絵心が足りないのは許していただきたい。）

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有限生成アーベル群の基本定理から分かること

証明の概略

ここからは第二の疑問について考えてみる。そのために、まず証明の概略について述べる。

群Gが有限生成アーベル群であるとする。Gがm個の元により生成されるとすると、階数m*1の自由アーベル群 $F_m$ からGへの全射準同型fが存在する*2。Ker(f)は $F_m$ の部分群となり、かつそれ自身自由アーベル群となる。準同型定理より $G \cong F_m / {\rm Ker}(f)$ となる。よって、右辺の構造について詳細に調べることにする。

$F_m$ の基底を $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 、Ker(f)の基底を $b_1, b_2, \cdots b_n$ とする。ただし、 $n \leq m$ である。Ker(f)は $F_m$ の部分群なので、Ker(f)の基底は全て $F_m$ の基底の線形結合として書き表すことができる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} b_1 &=& k_{1,1}a_1 + k_{1,2}a_2 + \cdots + k_{1,m}a_m \\ b_2 &=& k_{2,1}a_1 + k_{2,2}a_2 + \cdots + k_{2,m}a_m \\ \vdots \\ b_n &=& k_{n,1}a_1 + k_{n,2}a_2 + \cdots + k_{n,m}a_m \end{eqnarray} }$

ただし、 $k_{i,j} \in \mathbb{Z} (i,j \in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$ である。これを行列で書き換えると以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,m} \\ k_{2,1} & k_{2,2} & \cdots & k_{2,m} \\ \vdots \\ k_{n,1} & k_{n,2} & \cdots & k_{n,m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} \end{eqnarray} }$

P, Qを適当な正則行列とすると、上記の式は以下のように変形できることが知られている。（ここでは証明しない。）

${ \displaystyle \begin{eqnarray} P \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} &=& P \begin{pmatrix} k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,m} \\ k_{2,1} & k_{2,2} & \cdots & k_{2,m} \\ \vdots \\ k_{n,1} & k_{n,2} & \cdots & k_{n,m} \end{pmatrix} Q^{-1}Q \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} b_1' \\ b_2' \\ \vdots \\ b_n' \end{pmatrix} &=& P \begin{pmatrix} k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,m} \\ k_{2,1} & k_{2,2} & \cdots & k_{2,m} \\ \vdots \\ k_{n,1} & k_{n,2} & \cdots & k_{n,m} \end{pmatrix} Q^{-1} \begin{pmatrix} a_1' \\ a_2' \\ \vdots \\ a_m' \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} b_1' \\ b_2' \\ \vdots \\ b_n' \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} e_1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e_n & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1' \\ a_2' \\ \vdots \\ a_m' \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray} }$ *3

$a_1', a_2', \cdots, a_m'$ 、及び $b_1', b_2', \cdots b_n'$ はそれぞれ $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 、及び $b_1, b_2, \cdots b_n$ という基底を行列Q, Pにより変換したものになっており、本質的には同じ空間を表している。そこで、 $F_m$ , Ker(f)の基底をそれぞれ $a_1', a_2', \cdots, a_m'$ 、及び $b_1', b_2', \cdots b_n'$ に取り直す。 $F_m \cong \mathbb{Z}^m$ であり、また上で得られた式から ${\rm Ker}(f) = e_1\mathbb{Z} \times e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times e_n\mathbb{Z}$ となるので、結局以下が得られる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} F_m / {\rm Ker}(f) &\cong& \mathbb{Z}^m / (e_1\mathbb{Z} \times e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times e_n\mathbb{Z}) \\ &\cong& \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{m-n} \end{eqnarray} }$

以上が定理の証明の概略である。

定理の考察

さて、この定理について更に深く考えると、一体どんな世界が見えてくるのだろうか。まず証明の過程に着目してみよう。上で述べた証明の中では、 $F_m$ とKer(f)の基底をうまく取り替えることによって、それらの間の変換行列をとてもシンプルな形に変形することができた。ここで、変換後のKer(f)の基底は、同じく変換後の $F_m$ の基底のうち、最初のn個のそれぞれ定数倍となっている。さらに、 $F_m$ の基底のうち、n+1個目以降はKer(f)には一切影響を与えていない。このことから、証明の中で行われた基底の変換は、 $F_m$ の最初のn個の基底とKer(f)の基底がそれぞれ同じ方向を向くように調整する操作だったのだと考えることができる。このような基底の方向調整は、代数学のみならず他の数学分野にも登場する操作であり、大変興味深い。

次に、定理の最終的な主張の形に着目してみよう。大きな特徴として、この式は位数有限の巡回群と位数無限の巡回群の直積になっていることが分かる。アーベル群のある元gの位数が有限であるということは、すなわちその元をd回足し合わせることで単位元に戻るということである。式で書けば $dg = 0$ である。このような元のことを捩れ元と呼び、捩れ元全体から成る集合はGの部分群になる。そのような部分群をGの捩れ部分群と呼ぶ。本定理の主張は、有限生成なアーベル群が捩れ部分群とそれ以外とに分けられるということを述べていたのである。

ここで1つ私が抱いた疑問について述べる。それは、自由アーベル群と有限生成アーベル群の本質的な違いは何かということである。というのも、自由アーベル群はその基底の線形結合で全ての元を表現でき、また有限生成アーベル群はその生成元の線形結合でやはり全ての元を表現できるので、ぱっと見ただけだと違いがよく分からないのである。その答えがまさに捩れの有無にあるのだ。つまり、自由アーベル群には捩れがなく、有限生成アーベル群には捩れがあるかもしれないということである。そして、この捩れがどれくらい大きな割合を占めているのかということが、ある有限生成アーベル群が自由アーベル群からどれくらいかけ離れているのかを示していると解釈できるのである。ついでに、このような関係から直感的に自由アーベル群の方が集合として大きく、結果的に有限生成アーベル群への全射準同型が構成できることにも納得ができた。