5次方程式の解を巡る旅〜既約多項式のGalois群編〜

前回の記事で $\mathbb{Q}$ 上の多項式の既約性を確実に判定できることが分かった。本稿からいよいよ本題である可解な5次方程式の話に入っていく。特に、本稿では既約な5次多項式のGalois群がどういう性質を持つのかについて記載しようと思う。

最小分解体とGalois群

f(x)を $\mathbb{Q}$ 上の既約多項式とする。 $\mathbb{Q}$ 上既約なので、f(x)は $\mathbb{Q}$ 上ではこれ以上因数分解できない。しかし、体を適切に拡大すれば因数分解できるようになる。例えば、思い切って $\mathbb{C}$ まで拡大すれば因数分解可能となる。

しかし、多くの場合そこまで体を拡大せずとも、もっと小さい体で因数分解できるようになる。実際、因数分解ができるようになる最小の拡大体というものが存在し、これをf(x)の最小分解体という。以下、これをLと表すことにする。

Lを具体的に得るのは簡単で、単にf(x)の根を全て $\mathbb{Q}$ に添加すればよい。すなわち、f(x)の根を $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ とすれば、 $L = \mathbb{Q}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ となる。

$\mathbb{Q}$ からLへの拡大はGalois拡大である。これは自明ではなく証明が必要と思われるが、ここでは割愛する。Galois拡大とその中間体には、Galois群とその部分群が1対1で対応し、これをGalois対応と呼ぶ。Galois群とはLの $\mathbb{Q}$ 自己同型群のことであり、これはf(x)の根の置換と捉えることができる。そのため、Galois群は対称群やその部分群と同型になる[1]。

一般の5次多項式の場合では、最小分解体に対応するGaloisが5次対称群 $S_5$ となる。これが可解群ではないために、根を代数的に表示することができないのであった。

推移的なGalois群

既約多項式のGalois群は1つ特徴的な性質を持っている。それは、作用が推移的になるということである。推移的な作用の定義を[2]より引用する。

推移的な作用

群Gが集合Xに作用するとする.
(中略)
$x \in X$ があり, $Gx = X$ となるとき, この作用は推移的であるという.

作用が推移的な群のことを可移群とかtransitive groupなどと呼ぶようである。

先ほど述べたように5次方程式のGalois群は5次対称群、もしくはその部分群と同型になるわけだが、そのうち作用が推移的なものはどれくらいあるのだろうか？実は、これは共役を除いて以下の5つしか存在しないことが知られている[3][4]。

名称	記号	位数	共役な部分群の数
対称群	$S_5$	120	1
交代群	$A_5$	60	1
Frobenius群	$F_{20}$	20	6
二面体群	$D_{5}$	10	6
巡回群	$C_5$	5	6

上に示した5つの群の性質を見てみよう。まず、以下の2つの正規列を作ることができる。

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} && 1 \lhd A_5 \lhd S_5 \\ && 1 \lhd C_{5} \lhd D_5 \lhd F_{20} \end{eqnarray} }$

$S_5,\ A_5$ が可解群でないことは有名であるが、実は $F_{20},\ D_{5},\ C_5$ は可解群となる。これより、5次の既約多項式f(x)について、 $f(x)=0$ という方程式が代数的に解けるための必要十分条件は、Galois群が $F_{20}$ に含まれることだと言える。これについては次回以降詳しく述べることにする。

Frobenius群とは

上で挙げた5つの群のうち、Frobenius群 $F_{20}$ だけ馴染みがないという方は多いのではないだろうか？何を隠そう私自身も本件の調査をするまで知らなかった。そこで、本格的な可解性の議論に入る前に、Frobenius群の性質について調べてみたいと思う。

定義

まず、定義を[5]より引用する。

Frobenius群

Let G be a finite group acting transitively on a set X. We call G a Frobenius group if only the identity element fixes more than one point. In other words, if x,y are distinct elements, and if gx=x and gy=y then g=1. We assume that X has more than one element.

要するに、単位元以外の元はその作用によって高々1つの点しか固定しないということである。

重要な部分群

高々1つの点を固定するということは、点を1つ固定する元と1つも固定しない元があることを意味する。作用によって1つも点を固定しない元と単位元を合わせたものはFrobenius群の正規部分群となっており、これをFrobenius kernelと呼ぶ。また、作用によってある点 $x_0 \in X$ を固定する元と単位元を合わせたものは部分群となっており、これをFrobenius complementと呼ぶ。

一般にFrobenius群Gには常にFrobenius kernel KとFrobenius complement Hが存在し、 $G = HK$ となる。上で述べた事実と合わせると、結局GはKとHの半直積になる。すなわち、 $G = K \rtimes H$ である。

G, K, Hの成す短完全列

GとKは以下のような短完全列を成す。

$\displaystyle{ \{1\} \to K \xrightarrow{\nu} G \xrightarrow{\pi} G/K \to \{1\} }$

ここで、 $\nu$ は入射、 $\pi$ は自然な全射を表す。

Frobenius群Gに対してKとG/Kは常に巡回群になることが知られている。このような性質を持つ群をメタ巡回群と呼ぶ[6]。すなわち、Frobenius群はメタ巡回群であると言える。

実はさらに $G/K \cong H$ となる。G/KからHへの同型を $\phi$ とすると、結局以下の短完全列が得られる。

$\displaystyle{ \{1\} \to K \xrightarrow{\nu} G \xrightarrow{\phi \circ \pi} H \to \{1\} }$

$F_{20}$ の全体像

Frobenius群の一般論はこれくらいにして、以下に $F_{20}$ の構造を示す。

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$F_{20}$ は2つの置換 $\sigma = (1, 2, 3, 4, 5),\ \tau = (2, 3, 5, 4)$ によって生成されるので、全ての元を $\sigma,\ \tau$ の積として表現している。エッジは生成元を左から掛ける操作を表しているが、一部省略している。各ノード下段の括弧で囲われた数字は、(1, 2, 3, 4, 5)という数字の列に対してその元を左作用させた結果を表している。その作用によって固定される点を赤で示している。