ガロアの基本定理の定性的なイメージと具体例

少し前にやっとガロア理論を学ぶことができた。ガロア理論の核となるのはガロアの基本定理である。ざっくり説明すると、L/Kが体のガロア拡大であるとき、その中間体Mに対してガロア群Gal(L/K)の部分群の中に1対1に対応するものがあるという定理である。しかも、中間体同士の包含関係と、Gal(L/K)の部分群の包含関係は互いに逆向きに対応するのである。これがこの定理の不思議なところであり、キーポイントであると思われる。

本記事ではガロアの基本定理で述べている中間体とガロア群の部分群の間の逆向きの包含関係について述べると共に、1つ具体例を出してみたいと思う。

まず、ガロア群とは何かについて簡単に述べてみる。L/Kが体のガロア拡大であるとき、K自己同型群 ${\rm Aut}_K^{al}(L)$ のことをガロア群と呼び、Gal(L/K)と書く。K自己同型群は、Lに含まれる元のうちKの元を不変にするような同型の集合であり、これは自己同型群の部分群になる。

今、 $K \subset M \subset L$ という体の包含関係があり、またこれに対応してガロア群の部分群の間に ${\rm Gal}(L/K) \supset H \supset 1$ という包含関係が合ったとする。ここで、L, M, Kの元を変えないようなLの自己同型の集合は、それぞれどんな集合であるかを考えてみる。まずLについてであるが、Lの自己同型がLを変えないのだとすれば、それは恒等写像のみである。これはガロア群の自明な部分群である1に対応する。また、Kについて考えてみると、Kを変えないLの自己同型というのは、まさにK自己同型の定義そのものであり、それらの集合はガロア群Gal(L/K)そのものである。また、Mについては具体的にどういう体かを示していないためざっくりとしたことしか言えないが、 $M \ne L$ かつ $M \ne K$ であれば、Mを変えないという条件は、Lを変えないよりは緩く、Kを変えないよりは厳しいため、その数は1よりは大きく、|Gal(L/K)|よりは小さいと考えられる。そのような集合をHとすると、これはガロア群の部分群になる。

以上の考察のように、ガロア拡大の中間体の列に対して、その中間体を変えないようなLの自己同型を考えていくと、それが全てガロア群の部分群になっている。そして、サイズの大きい中間体ほど、それを変えないという条件が厳しいものとなるため、該当する自己同型の数は少なくなっていく。このようにして、中間体とそれを変えないガロア群の部分群の対応を考えると、逆向きの包含関係が見えてくるのである。これがガロアの基本定理に対する私の定性的な理解である。

ガロア拡大の中間体とガロア群の部分群の対応例

例として、ガロア拡大 $\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}$ を考える。ここで、 $\zeta_{5}$ は1の原始5乗根である。詳細はとても書ききれないので省くが、 ${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}) \simeq (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z})^{\times} = \{1, 2, 3, 4\}$ である。演算表を以下に示す。

×	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

次に、このガロア群の部分群を具体的に求めてみる。ガロア群の位数が4なので、自明でない部分群の位数としてあり得るのは2のみである。そう思って上の演算表を見てみると、 $H = \{1, 4\} \simeq \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ が部分群になっていることが分かる。

以上により、 ${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}) \supset \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \supset 1$ という部分群の列が得られた。これに対する中間体の列を考えるために、自明でない部分群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Q}$ 自己同型群としてどのように振る舞うかを考えてみる。 $\mathbb{Q}(\zeta_{5})$ の元は $a + b\zeta_{5}+ c\zeta_{5}^{2} + d\zeta_{5}^{3} + e\zeta_{5}^{4} (a, b, c, d, e \in \mathbb{Q})$ と表すことができる。 ${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q})$ の元は $\mathbb{Q}(\zeta_{5})$ に作用することで $\zeta_{5}, \zeta_{5}^{2}, \zeta_{5}^{3}, \zeta_{5}^{4}$ を置換することになる。具体的な置換の仕方をHの元である1, 4について考えてみると、1は単位元なので恒等写像となる。一方、4は $\zeta_{5}, \zeta_{5}^{2}, \zeta_{5}^{3}, \zeta_{5}^{4}$ をそれぞれ4乗する操作を表すので、 $\zeta_{5}^{4}, \zeta_{5}^{3}, \zeta_{5}^{2}, \zeta_{5}$ へと移される。指数部分が演算表の値と一致しているところがポイントである。

ここで、Hによって不変となる $\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}$ の中間体Mを具体的に求めてみる。上記の考察から、4による置換では $\zeta_{5}$ と $\zeta_{5}^{4}$ 、及び $\zeta_{5}^{2}$ と $\zeta_{5}^{3}$ が入れ替わることが分かる。そのため、Hの元による置換では $\zeta_{5} + \zeta_{5}^{4}, \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}^{3}, \zeta_{5}\zeta_{5}^{4}, \zeta_{5}^{2}\zeta_{5}^{3}$ が変化しないことになる。今、 $\zeta_{5}\zeta_{5}^{4} = \zeta_{5}^{2}\zeta_{5}^{3} = 1$ であるため、これらについては特に考える必要がない。 $\alpha = \zeta_{5} + \zeta_{5}^{4}, \beta = \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}^{3}$ と置くと、 $\beta = \alpha^2 - 2$ と書けるため、結局 $\alpha$ が不変になることだけを考えればよい。すなわち、 $M = \mathbb{Q}(\alpha)$ である。

Mをもう少し詳しく調べてみる。複素平面上での対称性を考えると、 $1 + \zeta_{5} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{4} = 0$ となるので、 $\zeta_{5} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{4} = \alpha + \beta = -1$ が言える。また、 $\alpha\beta = \zeta_{5} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{4} = -1$ である。よって解と係数の関係より $\alpha, \beta$ を根に持つ2次多項式は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta &=& x^2 + x -1 \\ &=& \left(x - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray} }$

$\beta < \alpha$ より $\alpha = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ となる。よって $M = \mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ だということが分かる。

これにより、ガロア拡大 $\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}$ の中間体とガロア群の部分群の間の対応は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &\mathbb{Q}(\zeta_{5})& &\supset& &\mathbb{Q}({\sqrt{5}})& &\supset& &\mathbb{Q}& \\ &1& &\subset& &\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& &\subset& &{\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q})& \end{eqnarray} }$

5次方程式の可解性との関連

上の例をもう少し推し進めて、方程式の可解性との関連について考察してみる。ガロア理論の一番有名な帰結として、一般の5次方程式の解を代数的に求めることはできないというものがあるが、これはあくまで「一般の」5次方程式の話である。つまり、一部の「特殊な」5次方程式には解の公式が存在するのである。そしてガロア理論の真髄は、ある特殊な5次方程式に解の公式があるかどうかが、その方程式の最小分解体への拡大に対するガロア群が可解群かどうかを確かめることで分かるということである。

実は上の例で取り上げた $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ という体は、 $x^5 - a^5 (a \in \mathbb{Q})$ という形の5次方程式の最小分解体になっている。先ほど ${\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{5})/\mathbb{Q}) \simeq (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z})^{\times}$ だということに言及したが、実はさらに $(\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z})^{\times} \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ であることが知られている。これはアーベル群であるため、自動的に可解群となる。そのため、 $x^5 - a^5$ は代数的に解くことができる。