可解でない群は珍しい？ 群論を勉強していると可解群という概念が登場する。これはガロア理論において大活躍する極めて重要な群であり、群がどんな時に可解になるかというのは興味ある問題である。しかし、位数の小さい群を見ていると、どうにも可解でない群…

有限生成アーベル群のrank 今日もトポロジーの本を読んでいて得られた副次的な知見について書いてみたいと思う。それは、有限生成アーベル群のrankにまつわる話である。有限生成アーベル群の基本定理により、任意の有限生成アーベル群Gは以下の形の群と同型…

先日トポロジーの本を読んでいたときに、私が剰余群について疑問に思ったことについて言及されている箇所があった。本稿ではそれについて書いてみたいと思う。 疑問 剰余群の最も簡単な例として、を考えてみよう。これが位数2の巡回群になるのは周知の通りで…

群Gとその正規部分群Nがあるとする。Gから剰余群G/Nへの自然な準同型をとする。G/Nの部分群全体の集合を、GのNを含む部分群全体の集合をとする。このとき、写像は全単射となる。つまり、との元の間には一対一の対応関係がある。例によって細かい理屈はここで…

群論の有名な定理の1つに有限生成アーベル群の基本定理というものがある。これは、群Gが有限生成アーベル群であれば、Gは巡回群の直積に分解できるというものである。より具体的には以下の通りである。 群Gが有限生成アーベル群であれば、となるような自然数…

代数学について勉強していると、具体的な群の構造やら何やらを知りたくなる時がある。しかし、それらを理論的に求めることができたとしても、実際に計算してみるのは大変骨の折れることだ。例えば、ある群の部分群を全て知りたいとか、ある多項式のガロア群…

前回の記事で群の可視化について考察した。その際、群の全ての元に対して、全ての元を掛けあわせたときの遷移先をグラフのエッジとして表すという方法を採った。しかし、これだと群の位数nに対してエッジ数がn2となってしまい、位数が大きい群を可視化するの…

私は元来情報系の人間であるが、ここ数年は専ら数学の勉強をするのが趣味となっている。個人的な最終目標は代数的整数論、及び解析的整数論の基本的な事項を理解することであるが、まずはそのための下準備として代数学を勉強している。代数学における一番基…