圏に関する初歩的な概念を小さな例で理解する～ unitとcounit

前回の記事では随伴について例を用いて説明した。本稿では前回説明しきれなかった随伴に関連する話題として、unitとcounitについて例を用いながら考えてみる。

unitとcounit

Unitとcounitの定義を本[1]から引用する。

unitとcounit

For each $A \in \mathcal{A}$ , we have a map
$\displaystyle{ \left(A \overset{\eta_A}{\longrightarrow} GF(A) \right) = \overline{\left(F(A) \overset{1}{\longrightarrow} F(A) \right)}. }$
Dually, for each $B \in \mathcal{B}$ , we have a map
$\displaystyle{ \left(FG(B) \overset{\epsilon_B}{\longrightarrow} B \right) = \overline{\left(G(B) \overset{1}{\longrightarrow} G(B) \right)}. }$
(We have begun to omit brackets, writing $GF(A)$ instead of $G(F(A))$ , etc.) These define natural transformations
$\displaystyle{ \eta: 1_{\mathcal{A}} \to G \circ F,\ \epsilon: F \circ G \to 1_{\mathcal{B}}, }$
called the unit and counit of the adjunction, respectively.

要するにunit, counitとはそれぞれ $F(A) \to F(A)$ および $G(B) \to G(B)$ という恒等射を転置したものを集めてできる自然変換である。

triangle identity

Unitとcounitについてtriangle identity（三角恒等式？）という重要な可換図式が成り立つ。Triangle identityの説明を本[1]から引用する。

triangle identity

Given an adjunction $F \dashv G$ with unit $\eta$ and counit $\epsilon$ , the triangles

commute.

はてなブログだと斜めの矢印を含んだ可換図式を描くのに苦労したので、諦めて本[1]の数式をキャプチャしたものを添付した。

可換図式の中に出てくる $F\eta$ とか $\eta G$ といった記号の意味について補足する。これは自然変換のhorizontal composition（水平合成）というものの一種である。Horizontal compositionとは自然変換を横方向につなぐような合成のことである。詳しくは本[1]やalg-dさんの動画[2]を参照のこと。

前述の可換図式に登場する水平合成は合成する2つの自然変換のうち一方が恒等変換になっているようなケースである。例えば自然変換 $\alpha: F \Rightarrow G$ と $1: F' \Rightarrow F'$ を水平合成すると以下の図のようになる。

$F' \alpha$ の成分は $(F' \alpha)_A = F'(\alpha_A)\ (A \in \mathcal{A})$ となる。

同様に自然変換 $1: F \Rightarrow F$ と $\alpha': F' \Rightarrow G'$ を水平合成すると以下の図のようになる。

$\alpha' F$ の成分は $(\alpha' F)_A = \alpha'_{F(A)}\ (A \in \mathcal{A})$ となる。

例

前回の記事で用いた図を見ながらunitとcounitがどうなるか確認してみよう。以下に図を再掲する。

$\mathcal{A}$ の各対象について $\eta$ の成分はそれぞれ以下のようになる。

$\begin{align} \eta_{a} &= \overline{1_{F(a)}} = f \\ \eta_{a'} &= \overline{1_{F(a')}} = 1_{a'} \\ \eta_{a'} &= \overline{1_{F(a'')}} = 1_{a''} \end{align}$

$\mathcal{B}$ の各対象について $\epsilon$ の成分はそれぞれ以下のようになる。

$\begin{align} \epsilon_{b} &= \overline{1_{G(b)}} = 1_{b} \\ \epsilon_{b'} &= \overline{1_{G(b')}} = 1_{b'} \end{align}$

Unitおよびcounitの各成分の中で $\eta_{a}$ だけ非自明な射になっている。これはまるで $a$ が $a'$ に圧し潰されて $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ が同じ形になっているような印象を受ける（個人の感想であり、一般にこういう現象が起きるかは分からない）。